動いている物体を異なる慣性系から見る：Ｘ軸編（４）

動いている物体を異なる慣性系から見たとき、一方の系から見た物体の位置と速度が、もう一方の系から見るとどう変換されるかの４回目です。

２回目では、等加速度で動いている物体を系A’から見た場合の位置 $x’(t’)$ がわかっている場合に、系Aから見た物体の位置がどうなるか調べました。

そのときのの計算がちょっと大変だったので、今回は、もう少し簡単な計算方法を考えてみます。

まず前提として、ローレンツ変換の式は
　 $x’(t’) = \gamma×(x(t) - v×t)$
　 $t’ = \gamma×(t - v×x(t))$
です。（ここで、 $\displaystyle \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt {1-v^2}}$ ）

系A’から見た場合の位置 $x’(t’)$ は、

　 $\displaystyle x’(t) = \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + (a×t’)^2} -1\right)$ 　（式１）

でした。

系A’の時刻 $t’=0$ で物体の位置は $x’(0)=0$ です。

式１を、双曲線関数であることが容易に分かる形であらわすと、

　 $\displaystyle \left(x’(t') + \frac{1}{a}\right)^2 - t’^2 = \frac{1}{a^2}$ 　（式２）

です。（「深宇宙探査機を見送る（４）」を参照してください）

式２に、ローレンツ変換の式を代入します。（ $x(t)$ を $x$ と書きます。掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle \left(x’ + \frac{1}{a}\right)^2 - t’^2 = \frac{1}{a^2}$

　 $\displaystyle \left(\gamma(x - vt) + \frac{1}{a}\right)^2 - (\gamma(t - vx))^2 = \frac{1}{a^2}$

２乗を展開します。

　 $\displaystyle \gamma^2(x - vt)^2+\frac{2\gamma}{a}(x - vt) + \frac{1}{a^2} - \gamma^2(t - vx)^2 = \frac{1}{a^2}$

両辺から $\displaystyle \frac{1}{a^2}$ を引きます。

　 $\displaystyle \gamma^2(x - vt)^2+\frac{2\gamma}{a}(x - vt) - \gamma^2(t - vx)^2 = 0$

式の見た目を簡単にするため、一旦 $\gamma^2$ で割ります。（このあとは２回目と同じになりますが、そのまま進めます）

　 $\displaystyle (x - vt)^2+\frac{2}{a\gamma}(x - vt) - (t - vx)^2 = 0$

２乗を展開します。

　 $\displaystyle x^2 - 2xvt+v^2t^2+\frac{2}{a\gamma} x - \frac{2}{a\gamma} vt - t^2 + 2tvx-v^2x^2 = 0$

$2tvx$ を相殺します。

　 $\displaystyle x^2 +v^2t^2+\frac{2}{a\gamma} x - \frac{2}{a\gamma} vt - t^2 -v^2x^2 = 0$

$x$ に関する項と $t$ に関する項とを分けます。

　 $\displaystyle x^2 -v^2x^2 +\frac{2}{a\gamma} x - t^2+v^2t^2- \frac{2}{a\gamma} vt =0$

　 $\displaystyle x^2(1 -v^2) +\frac{2}{a\gamma} x - t^2(1-v^2)- \frac{2}{a\gamma} vt =0$

$1 -v^2$ を $\displaystyle \frac{1}{\gamma^2}$ で置き換えます。（ $\displaystyle \gamma \equiv \frac{1}{\sqrt {1-v^2}}$ ですので）

　 $\displaystyle x^2\frac{1}{\gamma^2} +\frac{2}{a\gamma} x - t^2\frac{1}{\gamma^2}- \frac{2}{a\gamma} vt =0$

$\gamma^2$ を掛けます。

　 $\displaystyle x^2 +\frac{2\gamma}{a} x - t^2- \frac{2\gamma}{a} vt =0$

完全平方式で整理します。

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2 -\frac{\gamma^2}{a^2} - \left(t+\frac{\gamma}{a} v\right)^2+ \frac{\gamma^2}{a^2} v^2 =0$

定数項を右辺に移し、整理します。

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2 - \left(t+\frac{\gamma}{a} v\right)^2 = \frac{\gamma^2}{a^2}-\frac{\gamma^2}{a^2} v^2$

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2 - \left(t+\frac{\gamma}{a} v\right)^2 = \frac{\gamma^2}{a^2}(1-v^2)$

$1 -v^2$ を $\displaystyle \frac{1}{\gamma^2}$ で置き換えます。

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2 - \left(t+\frac{\gamma}{a} v\right)^2 = \frac{\gamma^2}{a^2}\frac{1}{\gamma^2}$

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2 - \left(t+\frac{\gamma}{a} v\right)^2 = \frac{1}{a^2}$

これでもう、 $x(t)$ が双曲線関数であることがわかりました。

もう少し変形して $x$ に関する式にします。

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2= \frac{1}{a^2}+ \left(t+\frac{\gamma}{a} v\right)^2$

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2} (at+\gamma v)^2$

　 $\displaystyle \left(x+\frac{\gamma}{a}\right)^2= \frac{1}{a^2}(1+ (at+\gamma v)^2)$

　 $\displaystyle x+\frac{\gamma}{a}= \frac{1}{a}\sqrt{1+ (at+\gamma v)^2}$

　 $\displaystyle x= \frac{1}{a}\sqrt{1+ (at+\gamma v)^2}-\frac{\gamma}{a}$

　 $\displaystyle x= \frac{1}{a}\left(\sqrt{1+ (at+\gamma v)^2}-\gamma\right)$

となります。

　 $\displaystyle x= \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1+ (a×t+\gamma×v)^2}-\gamma\right)$

それほど簡単にはなりませんでしたね…。

f:id:Dr9000:20200714120857j:plain

柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

動いている物体を異なる慣性系から見る：Ｘ軸編（４）