柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機を見送る（４）

時空間加速度系

一定加速度 $a$ で宇宙の果てまで旅をする深宇宙探査機について、連続して書いています。

地球から見た深宇宙探査機の速度 $v(t)$ は、

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$ 　（式１）

となることがわかりました。

では、地球から見た深宇宙探査機の位置 $x(t)$ はどうなるでしょうか。
式１を積分すればよいですね。

　 $\displaystyle x(t) = \int \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}} dt$

速度 $v(t)$ の式を求めたときと同じく、置換積分を使います。

双曲線関数（の微積分）を使うので、公式を準備しておきます。
　 $1 + \sinh^2 \theta = \cosh^2 \theta$ 　（公式１）

　 $\displaystyle \frac{d}{d\theta}\sinh \theta = \cosh \theta$ 　（公式２）

　 $\displaystyle \frac{d}{d\theta}\cosh \theta = \sinh \theta$ 　（公式３）

$t$ を
　 $t = (1 / a)×\sinh \theta$ 、 $a×t = \sinh \theta$ 　（置換１）
と置きます。
$dt$ は
　 $\displaystyle dt = \frac{d}{d\theta}( (1 / a)×\sinh \theta) d\theta$

　 $= ( (1 / a)×\cosh \theta) d\theta$ 　（置換２。公式２を適用）

となります

式１は、

　 $\displaystyle x(t) = \int \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}} dt$

　 $\displaystyle = \int \frac{\sinh \theta}{\sqrt{1 + \sinh^2 \theta}} dt$ 　（置換１を適用）

　 $\displaystyle = \int \frac{\sinh \theta}{\sqrt{\cosh^2 \theta}} dt$ 　（公式１を適用）

　 $\displaystyle = \int \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}dt$

　 $\displaystyle = \int \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}×( (1 / a)×\cosh \theta) d\theta$ 　（置換２を適用）

　 $\displaystyle = (1 / a)×\int \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta} \cosh \theta d\theta$

　 $\displaystyle = (1 / a)×\int \sinh \theta d\theta$

　 $\displaystyle = (1 / a)×\cosh \theta + C$ （公式３を適用。Cは積分定数）

　 $\displaystyle = (1 / a)×\sqrt{1 + \sinh^2 \theta} + C$ 　（公式１を適用）

　 $\displaystyle = (1 / a)×\sqrt{1 + (a×t)^2} + C$ （置換１を適用。 $t$ にもどします）

となります。

積分定数は、時刻 $t = 0$ のときに深宇宙探査機が地球を出発し、そのときの位置 $x(0)$ をゼロとすると、 $C = -1 / a$ となります。

まとめると、

　 $\displaystyle x(t) = (1 / a)×\sqrt{1 + (a×t)^2} - (1 / a)$ 　（式２）

です。

位置 $x$ と時刻 $t$ との関係をグラフで理解するため、式２を変形して、

　 $\displaystyle x + (1 / a) = (1 / a)×\sqrt{1 + (a×t)^2}$

左辺の $x + (1 / a)$ を $x'$ と置いて、

　 $\displaystyle x' = (1 / a)×\sqrt{1 + (a×t)^2}$

　 $\displaystyle a×x' = \sqrt{1 + (a×t)^2}$

両辺を２乗して、
　 $a^2×x'^2 = 1 + a^2×t^2$

右辺第２項を左辺に移行して、
　 $a^2×x'^2 - a^2×t^2 = 1$

係数を整理して、
　 $a^2×(x'^2 - t^2) = 1$

　 $x'^2 - t^2 = 1 / a^2$

置換をもとに戻して、
　 $(x + (1 / a))^2 - t^2 = 1 / a^2$
です。

これは、双曲線ですね。（つづく）

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