柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

動いている物体を異なる慣性系から見る：Ｘ軸編（３）

速度の合成ローレンツ変換双曲線関数慣性系

動いている物体を異なる慣性系から見たとき、一方の系から見た物体の位置と速度が、もう一方の系から見るとどう変換されるかの３回目です。

等加速度で動いている物体を系A’から見た場合、その位置 $x’(t’)$ と時刻 $t’$ との関係は双曲線関数になりますが、その物体を系Aから見ても、やはり、その位置 $x(t)$ と時刻 $t$ との関係は双曲線関数になるということがわかりました。（昨日の記事を参照）

今回は、その計算結果が正しかったかを検証してみます。

等加速度 $a$ で動いている物体を系A’から見た場合の速度は、

　 $\displaystyle u’(t’) = \frac{a×t’ + C}{\sqrt{1 + (a×t’ + C)^2}}$

でした。（「深宇宙探査機を見送る（２）」を参照してください）

系A’の時刻 $t’=0$ で物体の速度が $u’(0)=0$ とすると、定数 $C$ はゼロになります。

　 $\displaystyle u’(t’) = \frac{a×t’ }{\sqrt{1 + (a×t’)^2}}$

これを積分すると、物体を系A’から見た位置となり、それは、

　 $\displaystyle x’(t) = \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + (a×t’)^2} + D\right)$

でした。（「深宇宙探査機を見送る（４）」を参照してください）

系A’の時刻 $t’=0$ で物体の位置が $x’(0)=0$ とすると、定数 $D$ は $-1$ になります。

その物体を、系A’に対して速度 $v$ で動いている系Aから見た場合どうなるかが、前回の記事で計算した内容です。

まず、等加速度 $a$ は物体自体の加速度ですので、どの系から見るかには依存しません。

したがって、物体を系Aから見た場合の速度も、

　 $\displaystyle u(t) = \frac{a×t + C}{\sqrt{1 + (a×t + C)^2}}$ 　（式１）

となります。

これを積分すると、物体を系Aから見た位置は、

　 $\displaystyle x(t) = \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + (a×t+C)^2} + D\right)$ 　（式２）

となります。

次に、ローレンツ変換の式
　 $x’(t’) = \gamma×(x(t) - v×t)$
　 $t’ = \gamma×(t - v×x(t))$

ですが、これらを適用する前提は「ふたつの系で原点が同一」であることです。

それぞれの系での原点 $O’(0,0)$ と $O(0,0)$ は、時空間内の同じ点です。

「系A’の時刻 $t’=0$ で物体の位置が $x’(0)=0$ 」であることと、「系A’と系Aの原点は同じ」であることから、「系Aの時刻 $t=0$ で物体の位置が $x(0)=0$ 」であることがわかります。

これから、式２の定数 $D$ は次のとおりです。

　 $\displaystyle x(0) = \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + (a×0+C)^2} + D\right)=0$

　 $\displaystyle \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + C^2} + D\right)=0$

　 $\displaystyle D= -\sqrt{1 + C^2}$

また、「系A’の時刻 $t’=0$ での物体の速度が $u’(0)=0$ である」ということと、「系A’に対して系Aが速度 $v$ で動いている」ということから、Aの時刻 $t=0$ での物体の速度 $u(0)$ は、速度の合成の式を適用して、

　 $\displaystyle u(0)=\frac{v+u’(0)}{1+v×u’(0)}$

　 $\displaystyle =\frac{v+0}{1+v×0}=v$

です。

これにより、式１の定数 $C$ は次のとおりです。

　 $\displaystyle u(0) = \frac{a×0 + C}{\sqrt{1 + (a×0 + C)^2}}$

　 $\displaystyle = \frac{C}{\sqrt{1 + C^2}}=v$

これを $C$ について解くと、

　 $\displaystyle \frac{C}{\sqrt{1 + C^2}}=v$

　 $\displaystyle \frac{C^2}{1 + C^2}=v^2$

　 $\displaystyle C^2=v^2×(1 + C^2)$
　 $C^2=v^2+v^2×C^2$
　 $\displaystyle C^2-v^2×C^2=v^2$
　 $C^2×(1-v^2)=v^2$

　 $\displaystyle C^2=\frac{v^2}{1-v^2}$

　 $\displaystyle C=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}$

となります。

定数 $D$ を再計算すると、
　 $\displaystyle D=-\sqrt{1+C^2}$

　 $\displaystyle =-\sqrt{1+\frac{v^2}{1-v^2}}$

　 $\displaystyle =-\sqrt{\frac{1-v^2+v^2}{1-v^2}}$

　 $\displaystyle =-\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$
です。

ここで、 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}$ を $\gamma$ と書きます。

　 $\displaystyle C=\frac{v}{\sqrt{1-v^2}}=\gamma×v$

　 $\displaystyle D=-\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}=-\gamma$

です。

以上を合わせると、物体を系Aから見た位置は、

　 $\displaystyle x(t) = \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + (a×t+\gamma×v)^2} -\gamma\right)$

となり、昨日の計算結果と一致しました。（よかった）

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