動いている物体を異なる慣性系から見る：Ｘ軸編（２）

動いている物体を異なる慣性系から見たとき、一方の系から見た物体の位置と速度が、もう一方の系から見るとどう変換されるか。

今回はその２回目です。

昨日の記事で、ローレンツ変換の式
　 $x’(t’) = \gamma×(x(t) - v×t)$ 　（式１）
　 $t’ = \gamma×(t - v×x(t))$ 　（式２）
を使い、系A’から見た物体の位置 $x’(t’)$ の形がわかっているとき、それをもとに $x(t)$ の形は、

　 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{\gamma}×x’(t’) + v×t$

　 $\displaystyle =\frac{1}{\gamma}×x’(\gamma×(t - v×x(t))) + v×t$ 　（式３）

となりました。

簡単な場合として、等速度で動いている物体を見た場合について式１を解きました。

今回は、等加速度で動いている物体を見た場合を考えます。

等加速度 $a$ で動いている場合の物体の位置は、以前の記事で求めました。

系A’から見た物体の位置 $x’(t’)$ は、

　 $\displaystyle x’(t’) = \frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + (a×t’)^2} - 1\right)$ 　（式４）

です。
これは双曲線関数になっています。
時刻 $t’=0$ のときの物体の位置は $x’(0)=0$ です。

式４を使うと、式３は、

　 $\displaystyle x(t)=\frac{1}{\gamma}×x’(t’) + v×t$

　 $\displaystyle =\frac{1}{\gamma}×\frac{1}{a}×\left(\sqrt{1 + (a×t’)^2} - 1\right) + v×t$

　 $\displaystyle =\frac{1}{a×\gamma}×\left(\sqrt{1 + (a×\gamma×(t - v×x(t)))^2} - 1\right) + v×t$
　（式5）
となります。

式を変形します。（以降、 $x(t)$ を $x$ と書き、掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle x=\frac{1}{a\gamma}\left(\sqrt{1 + (a\gamma(t - vx))^2} - 1\right) + vt$

右辺を平方根だけにし、両辺を２乗します。

　 $\displaystyle x-vt=\frac{1}{a\gamma}\left(\sqrt{1 + (a\gamma(t - vx))^2} - 1\right)$

　 $\displaystyle a\gamma(x-vt)=\sqrt{1 + (a\gamma×(t - vx))^2} - 1$
　 $\displaystyle a\gamma(x-vt)+1=\sqrt{1 + (a\gamma(t - vx))^2}$
　 $\displaystyle (a\gamma(x-vt)+1)^2=1 + (a\gamma(t - vx))^2$

左辺の２乗を展開し、両辺の共通項を相殺します。
　 $\displaystyle (a\gamma(x-vt))^2+2a\gamma(x-vt)+1=1 + (a\gamma(t - vx))^2$
　 $\displaystyle (a\gamma(x-vt))^2+2a\gamma(x-vt)=(a\gamma(t - vx(t)))^2$

両辺を $(a\gamma)^2$ で割ります。

　 $\displaystyle (x-vt)^2+\frac{2}{a\gamma}(x-vt)=(t - vx)^2$

両辺の２乗を展開し、両辺の共通項を相殺します。

　 $\displaystyle x^2-2xvt+(vt)^2+ \frac{2}{a\gamma}(x-vt) =t^2 -2tvx+(vx)^2$

　 $\displaystyle x^2+(vt)^2+ \frac{2}{a\gamma}(x-vt) =t^2 +(vx)^2$

$x$ にかかる項を左辺に集めます。

　 $\displaystyle x^2+(vt)^2+ \frac{2}{a\gamma}x - \frac{2}{a\gamma}vt =t^2 +(vx)^2$

　 $\displaystyle x^2+ \frac{2}{a\gamma}x-(vx)^2=t^2-(vt)^2+ \frac{2}{a\gamma}vt$

　 $\displaystyle x^2(1-v^2)+ \frac{2}{a\gamma}x=t^2(1-v^2)+ \frac{2}{a\gamma}vt$

$1-v^2$ を $\gamma$ で書きます。

　 $\displaystyle x^2\frac{1}{\gamma^2}+\frac{2}{a\gamma}x=t^2\frac{1}{\gamma^2}+\frac{2}{a\gamma}vt$

両辺に $\gamma^2$ を掛けます。

　 $\displaystyle x^2+\frac{2\gamma}{a} x=t^2+\frac{2\gamma}{a} vt$

左辺を完全平方式でまとめます。

　 $\displaystyle \left(x + \frac{\gamma}{a}\right)^2-\left( \frac{\gamma}{a}\right)^2=t^2+\frac{2\gamma}{a} vt$

　 $\displaystyle \left(x + \frac{\gamma}{a}\right)^2=t^2+\frac{2\gamma}{a} vt+\left( \frac{\gamma}{a}\right)^2$

右辺を完全平方式でまとめます。

　 $\displaystyle \left(x + \frac{\gamma}{a}\right)^2=\left(t + \frac{\gamma}{a} v\right)^2-\left(\frac{\gamma}{a}\right)^2v^2+\left( \frac{\gamma}{a}\right)^2$

右辺第２、３項の $\gamma$ にかかる項を整理します。

　 $\displaystyle \left(x + \frac{\gamma}{a}\right)^2=\left(t + \frac{\gamma}{a} v\right)^2+\left(\frac{\gamma}{a}\right)^2(1-v^2)$

　 $\displaystyle \left(x + \frac{\gamma}{a}\right)^2=\left(t + \frac{\gamma}{a} v\right)^2+\left(\frac{\gamma}{a}\right)^2\left(\frac{1}{\gamma}\right)^2$