柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

続：速度v(t)に注意（３）

時空間座標

昨日の記事のつづきです。

X軸方向、Y軸方向ともに等速度運動で、初期値がある場合、 $x(t)=v_x×t+x_0$ 、 $y(t)=v_y×t+y_0$ を考えます。

① 物体の位置の単位時間ごとの変位の場合は…。

　 $\displaystyle v=\sqrt{v_x^2(t)+v_y^2(t)}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\left(\frac{d}{dt}x(t)\right)^2+\left(\frac{d}{dt}y(t)\right)^2}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\left(\frac{d}{dt}(v_xt+x_0)\right)^2+\left(\frac{d}{dt}(v_yt+y_0)\right)^2}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ 　（式１）

です。

② 物体までの距離の単位時間ごとの変位の場合は…。

　 $\displaystyle v=\frac{d}{dt}l$

　　 $\displaystyle =\frac{d}{dt}\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}$

　　 $\displaystyle =\frac{d}{dt}\sqrt{(v_xt+x_0)^2+(v_yt+y_0)^2}$

　　 $\displaystyle =\frac{d}{dt}\sqrt{(v_x^2t^2+2v_xtx_0+x_0^2)+(v_y^2t^2+2v_yty_0+y_0^2)}$

　　 $\displaystyle =\frac{d}{dt}\sqrt{(v_x^2+v_y^2)t^2+2(v_xx_0+v_yy_0)t+(x_0^2+y_0^2)}$

です。

ここで平方根の中を、

　 $\displaystyle Z=(v_x^2+v_y^2)t^2+2(v_xx_0+v_yy_0)t+(x_0^2+y_0^2)$

と置いて、

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\sqrt{Z}=\frac{dZ}{dt}\frac{d}{dZ}\sqrt{Z}$

　　 $\displaystyle =(2(v_x^2+v_y^2)t+2(v_xx_0+v_yy_0))( (1/2)Z^{-1/2})$

　　 $\displaystyle =( (v_x^2+v_y^2)t+(v_xx_0+v_yy_0))(Z^{-1/2})$

　　 $\displaystyle =\frac{(v_x^2+v_y^2)t+(v_xx_0+v_yy_0)}{\sqrt{Z}}$

　　 $\displaystyle =\frac{(v_x^2+v_y^2)t+(v_xx_0+v_yy_0)}{\sqrt{(v_x^2+v_y^2)t^2+2(v_xx_0+v_yy_0)t+(x_0^2+y_0^2)}}$ 　（式２）

式１と式２は違いますね。

簡単な場合として、 $x_0=0$ 、 $v_y=0$ とします。

X軸方向は初期値ゼロ、Y軸方向は速度ゼロです。

式１は、

　 $\displaystyle \sqrt{v_x^2+v_y^2}=v_x$

式２は、

　 $\displaystyle \frac{(v_x^2+v_y^2)t+(v_xx_0+v_yy_0)}{\sqrt{(v_x^2+v_y^2)t^2+2(v_xx_0+v_yy_0)t+(x_0^2+y_0^2)}}$

　　 $\displaystyle =\frac{v_x^2t}{\sqrt{v_x^2t^2+y_0^2}}$

　　 $\displaystyle =\frac{v_x^2t}{v_xt\sqrt{1+\frac{y_0^2}{v_x^2t^2}}}$

　　 $\displaystyle =v_x\frac{1}{\sqrt{1+\frac{y_0^2}{v_x^2t^2}}}$

です。

②は①場合の $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\frac{y_0^2}{v_x^2t^2}}}$ 倍になっています。

しかも②に場合は $t$ の関数であり、速度が変化します。

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