柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機を見送る（２）

時空間加速度系

昨日の記事で、一定加速度 $a$ で宇宙の果てまで旅をする深宇宙探査機について書きました。

地球から見た深宇宙探査機の加速度 $\alpha(t)$ は、
　 $\displaystyle \alpha(t) = \frac{d}{dt}v(t) = a×\left(\sqrt{1 - v(t)^2}\right)^3$ 　（式１）
となることがわかりました。

ただ、この式では、時刻 $t$ のときの深宇宙探査機の速度 $v(t)$ が示されていません。
ちょっと計算して $t$ であらわす式にしてみましょう。（このあと計算式がつづきます）

式１を
　 $\displaystyle \frac{dv}{dt} = a×\left(\sqrt{1 - v^2}\right)^3$
と考えます。

$dv$ 、 $dt$ を左辺、右辺に分けて、
　 $\displaystyle \frac{1}{\left(\sqrt{1 - v^2}\right)^3} dv = a dt$

これを積分します。
　 $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\sqrt{1 - v^2}\right)^3} dv = \int a dt$ 　（式１）

式１の右辺は
　 $a×t + C$ 　（ $C$ は積分定数）
です。

式１の左辺については置換積分を使います。

三角関数（の微積分）を使うので、公式を準備しておきます。
　 $1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ 　（公式１）

　 $\displaystyle \frac{d}{d\theta}\sin \theta = \cos \theta$ 　（公式２）

　 $\displaystyle \frac{d}{d\theta}\tan \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$ 　（公式３）

　 $\displaystyle \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 　（公式４）

$v$ を
　 $v = \sin \theta$ 　（置換１）
と置きます。
$dv$ は
　 $dv = \displaystyle \frac{d}{d\theta}\sin \theta d\theta = \cos \theta d\theta$ 　（置換２。公式２を適用）

となります。

式１の左辺は、

　 $\displaystyle \int \frac{1}{\left(\sqrt{1 - v^2}\right)^3} dv$

　 $= \displaystyle \int \frac{1}{\left(\sqrt{1 - \sin^2\theta}\right)^3}dv$ 　（置換１を適用）

　 $= \displaystyle \int \frac{1}{\left(\sqrt{\cos^2\theta}\right)^3}dv$ 　（公式１を適用）

　 $= \displaystyle \int \frac{1}{\cos^3 \theta}dv$

　 $= \displaystyle \int \frac{1}{\cos^3 \theta} \cos \theta d\theta$ 　（置換２を適用）

　 $= \displaystyle \int \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$

　 $= \tan \theta$ 　（公式３を適用。積分定数は式１の右辺に任せます）

　 $= \displaystyle \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ 　（公式４を適用）

　 $= \displaystyle \frac{\sin \theta}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$ 　（公式１を適用）

　 $= \displaystyle \frac{v}{\sqrt{1 - v^2}}$ 　（置換１を適用。 $v$ にもどします）

となります。

式１の左辺＝右辺を使って、

　 $\displaystyle \frac{v}{\sqrt{1 - v^2}} = a×t + C$

変形して、
　 $v = (a×t + C)×\sqrt{1 - v^2}$
両辺を２乗して、
　 $v^2 = (a×t + C)^2×(1 - v^2)$
右辺を展開して、
　 $v^2 = (a×t + C)^2 - (a×t + C)^2×v^2$
$v^2$ に関する項を左辺に移して、
　 $v^2 + (a×t + C)^2×v^2 = (a×t + C)^2$
$v^2$ でくくって、
　 $v^2×(1 + (a×t + C)^2) = (a×t + C)^2$

　 $\displaystyle v^2 = \frac{(a×t + C)^2}{(1 + (a×t + C)^2)}$

両辺の平方根を取って、

　 $\displaystyle v = \frac{a×t + C}{\sqrt{1 + (a×t + C)^2}}$

となりました。（ふーっ）

時刻 $t = 0$ のとき深宇宙探査機は地球を出発し、そのときの速度はゼロとします。この条件で積分定数は $C = 0$ となります。

地球から見た深宇宙探査機の速度 $v(t)$ は、

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$

です。

$a×t$ が大きくなると光速度 $v = 1$ に近づきますが、
　 $a×t \lt \sqrt{1 + (a×t)^2}$
ですから、光速度を超えることはありません。

まあ、もともと $v = \sin \theta$ と置換したときに、 $v \leqq 1$ を想定しているのですが。

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