柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

距離の相対性、速度の相対性（２）

相対速度

距離の相対性、速度の相対性の２回目です。

観測者A、Bが互いを観測しています。

Aが測ったBの速度を $v$ としたとき、Bが測ったAの速度 $v’$ がどうなるか考えます。

今回は、観測者Aが慣性系にいて、観測者Bは加速度運動をしているとします。

BがB自身にとっての等加速度 $a$ で運動しているとすると、Aが測ったある時点 $t$ でのBの速度は、

　 $\displaystyle v(t)=\frac{a×t}{\sqrt{1+(a×t)^2}}$

です。（求め方は「深宇宙探査機を見送る（２）」を参照）

Aが測ったある時点 $t$ でのBの移動距離 $x(t)$ は、速度を時間で積分して求めることができます。

　 $\displaystyle x(t)=\int \frac{a×t}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\ dt$

　　 $\displaystyle= (1 / a)×\left(\sqrt{1 + (a×t)^2} - 1\right)$ 　（式１）

です。（求め方は「深宇宙探査機を見送る（４）」を参照）

式１は、Aにとっての時間と距離による式ですが、これをBにとっての（Bが測る）時間と距離で書き換えます。

まず、Aから見てBは速度 $v$ で動いていますから、Bにとっての距離はAから見て縮んでいます。

Bにとっての距離 $x’$ と、それをAから見た距離 $x$ との関係は、
　 $\displaystyle x’=\sqrt{1-v^2}×x$
です。

これに式１を適用すると、
　 $\displaystyle x’=\sqrt{1-v(t)^2}×x$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}×(1 / a)×(\sqrt{1 + (a×t)^2} - 1)$

　　 $\displaystyle =(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\right)$ 　（式２）

です。（求め方は「深宇宙探査機に乗って、見る（５）」を参照）

また、Bにとっての時間はAから見て伸びます。

Bにとっての微小時間 $dt’$ と、それをAから見た微小時間 $dt$ との関係は、
　 $dt’=\sqrt{1-v^2}×dt$
です。

両辺を積分すると、それぞれにとっての経過時間の関係になります。
　 $\displaystyle \int\ dt’=\int\sqrt{1-v^2}\ dt$

　　 $\displaystyle =\int\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\ dt$

　 $\displaystyle t’=\frac{1}{a}×\sinh^{-1}(a×t)$

変形して、
　 $\displaystyle a×t’=\sinh^{-1}(a×t)$
　 $\displaystyle a×t=\sinh(a×t’)$
です。（求め方は「深宇宙探査機は耐用年数でどこまで行ける」を参照）

これを式２に代入すると、

　 $\displaystyle x’=(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\right)$

　　 $\displaystyle =(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\sinh(a×t’)^2}}\right)$

　　 $\displaystyle =(1/a)×\left(1-\frac{1}{\cosh(a×t’)}\right)$ 　（式３）

です。

式３は、Bの時間と長さで測った「Aから見たBの移動距離」です。

Bが測ったBの移動距離 $x’$ を、Bが測った時間 $t’$ で微分すると、Bが測ったBの速度 $v’$ になります。

　 $\displaystyle v’=\frac{d}{dt’}x’$

　　 $\displaystyle =\frac{d}{dt’}( (1/a)×\left(1-\frac{1}{\cosh(a×t’)}\right))$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{\cosh(a×t')}×\tanh(a×t')$ 　（式４）

です。（求め方は「深宇宙探査機に乗って、見る（６）」を参照）

式４はBの時間と長さで測った「Aから見たBの速度」です。

速度の相対性から「Aから見たB速度」と「Bから見たA速度」は同じです。

したがって、式４はBの時間と長さで測った「Bから見たAの速度」です。

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