柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度が変化する場合（７）

加速度系微分方程式双曲線関数

加速度が原点からの距離の３乗に反比例する場合を考えます。

想定は、

・時刻 $t=0$ のときの物体の位置は $x_0=x(0)\gt 0$
・時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=v(0)=0$
・加速度は原点からの距離の３乗に反比例： $\displaystyle a(t)=\frac{b}{x^3(t)}$ 　（ $b$ は比例定数）

です。

　 $\displaystyle \frac{b}{x^3}=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v×\frac{dv}{dx}$

と考えて、これを変数分離で積分します。

積分の範囲は、時刻は $t=0$ から、位置は $x(0)=x_0$ から、速度は $v(0)=0$ からです。

積分は、

　 $\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{b}{x^3}\ dx =\int_0^v v\ dv$ 　（式１）

です。

式１の右辺は、

　 $\displaystyle \int_0^v v\ dv=\left[ \frac{1}{2}×v^2 \right]_0^v$

　 $\displaystyle = \frac{1}{2}×v^2-\frac{1}{2}×0^2$

　 $\displaystyle = \frac{1}{2}×v^2$ 　（式１右辺）

です。

式１の左辺は、

　 $\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{b}{x^3} dx =\left[-\frac{1}{2×x^2}\right]_{x_0}^x$

　 $\displaystyle =\left(-\frac{b}{2×x^2}\right)-\left(-\frac{b}{2×x_0^2}\right)$

　 $\displaystyle =\frac{b}{2×x_0^2}-\frac{b}{2×x^2}$

　 $\displaystyle =\frac{b}{2×x_0^2}×\left(1-\frac{x_0^2}{x^2}\right)$

　 $\displaystyle =\frac{b}{2×x_0^2}×\frac{x^2-x_0^2}{x^2}$ 　（式１左辺）

です。

式１の左辺、右辺を合わせて、

　 $\displaystyle \frac{b}{2×x_0^2}×\frac{x^2-x_0^2}{x^2}=\frac{1}{2}×v^2$

です。

$\displaystyle \frac{dx}{dt}=v$ を書き戻して、

　 $\displaystyle \frac{b}{2×x_0^2}×\frac{x^2-x_0^2}{x^2}=\frac{1}{2}×\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$ 　

　 $\displaystyle \frac{b}{x_0^2}×\frac{x^2-x_0^2}{x^2}=\left(\frac{dx}{dt}\right)^2$

両辺の平方根をとり、

　 $\displaystyle \pm\sqrt{\frac{b}{x_0^2}}×\sqrt{\frac{x^2-x_0^2}{x^2}}=\frac{dx}{dt}$

　 $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{b}}{x_0}×\frac{\sqrt{x^2-x_0^2}}{x}=\frac{dx}{dt}$

です。

これを再び変数分離で積分します。

　 $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{b}}{x_0}×\int dt=\int\frac{x}{\sqrt{x^2-x_0^2}}\ dx$ 　（式２）

式２の左辺は、

　 $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{b}}{x_0}×\int dt= \pm\frac{\sqrt{b}}{x_0}×t$ 　（式２左辺）

です。

式２の右辺は、ちょっと複雑なので、

　 $\displaystyle x=x_0×\cosh \theta$

と置きます。

これ以降、 $x$ と $t$ を媒介変数 $\theta$ で表すこととします。

式２の右辺は、

　 $\displaystyle \int\frac{x}{\sqrt{x^2-x_0^2}}\ dx$

　　 $\displaystyle = \int\frac{x_0×\cosh \theta}{\sqrt{x_0^2×\cosh^2 \theta-x_0^2}}\frac{dx}{d\theta}d\theta$

　　 $\displaystyle = \int\frac{x_0×\cosh \theta}{x_0×\sqrt{\cosh^2 \theta-1}}\frac{dx}{d\theta}d\theta$

　　 $\displaystyle = \int\frac{\cosh \theta}{\sqrt{\cosh^2 \theta-1}}\frac{dx}{d\theta}d\theta$

　　 $\displaystyle = \int\frac{\cosh \theta}{\sqrt{\sinh^2 \theta}}\frac{dx}{d\theta}d\theta$

　　 $\displaystyle = \int\frac{\cosh \theta}{\sinh\theta}\frac{dx}{d\theta}d\theta$

となります。

ここで $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}$ は、

　 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(x_0×\cosh\theta)$

　　 $\displaystyle =x_0×\sinh \theta$

ですので、

　 $\displaystyle \int\frac{\cosh \theta}{\sinh \theta}\frac{dx}{d\theta}\ d\theta$

　　 $\displaystyle =\int\frac{\cosh \theta}{\sinh \theta}×x_0×\sinh \theta\ d\theta$

　　 $\displaystyle =x_0×\int\cosh \theta\ d\theta$

　　 $\displaystyle =x_0×\sinh\theta$ 　（式２右辺）

となります。

式２の左辺と右辺を合わせて、

　 $\displaystyle \pm\frac{\sqrt{b}}{x_0}×t=x_0×\sinh\theta$

　 $\displaystyle t=\pm\frac{x_0^2}{\sqrt{b}}×\sinh\theta$

です。

まとめると、媒介変数 $\theta$ で、物体の位置と時刻が表せました。

　 $\displaystyle x(\theta)=x_0×\cosh \theta$

　 $\displaystyle t(\theta)=\pm\frac{x_0^2}{\sqrt{b}}×\sinh\theta$

どこかで見たような式…。（つづく）

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