柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機に乗って、見る（６）

加速度系時空間

昨日の記事のつづきです。

深宇宙探査機から見た地球までの距離は、
　 $\displaystyle l=(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\right)$ 　（式１）

です。

これを時間で微分して、地球が離れていく速度を求めます。

そのため、式１の時刻（地球での時刻） $t$ を、深宇宙探査機の時刻に変更します。

時刻 $t$ は、深宇宙探査機が地球を出発してからある時点までの、地球での経過時間です。

地球で $t$ だけ経ったとき、深宇宙探査機で $t'$ 経ったとして、その関係は以前の記事で求めました。

　 $a×t = \sinh(a×t')$

です。

式１に代入して、

　 $\displaystyle l=(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\right)$

　 $\displaystyle =(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(a×t')}}\right)$

　 $\displaystyle =(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{\cosh^2(a×t')}}\right)$

　 $\displaystyle =(1/a)×\left(1-\frac{1}{\cosh(a×t')}\right)$ 　（式２）

です。

式２を深宇宙探査機の時間で微分して、深宇宙探査機から見た地球（離れていく）の速度を求めます。

　 $\displaystyle v'=\frac{dl}{dt'}$

　 $\displaystyle =\frac{d}{dt'}\left((1/a)×\left(1-\frac{1}{\cosh(a×t')}\right)\right)$

　 $\displaystyle =\frac{d}{dt'}(1/a)-\frac{d}{dt'}\left((1/a)×\frac{1}{\cosh(a×t')}\right)$

　 $\displaystyle =0-(1/a)×\frac{d}{dt'}\frac{1}{\cosh(a×t')}$

　 $\displaystyle =-(1/a)×\left(a×\frac{-\sinh(a×t')}{\cosh^2(a×t')}\right)$

　 $\displaystyle =\frac{1}{\cosh(a×t')}×\tanh(a×t')$

です。

深宇宙探査機から見た地球（離れていく）の速度は、 $t'=0$ のとき（深宇宙探査機が地球を出発したとき） $v=0$ です。（まあ、これはそうですね）

加えて $t'\to\infty$ のときも $v\to 0$ になります。

深宇宙探査機から見た地球までの距離 $l$ は、式２から、 $t'\to\infty$ のとき $l\to (1/a)$ ですので、深宇宙探査機は地球から距離 $l=(1/a)$ 以上に離れることができないのです。

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