柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

距離の相対性、速度の相対性（１）

相対速度

ふたりの観測者A、Bがいて、互いを観測しているとします。

Aから見たBまでの距離とBから見たAまでの距離は同じ（相対的）です。
また、Aから見たBの速度とBから見たAの速度は同じ（相対的）です。

ただし、AとBとで時間の流れが異なったり長さの伸び縮みがあると、距離や速度の測定が異なってきます。

その場合も、Aの長さで測ったBまでの距離とBの長さで測ったAまでの距離とは同じです。
また、Aの時間と長さで測ったBの速度とBの時間と長さで測ったAの速度とは同じです。（まあ、当たり前と言えば当たり前ですが）

Aが測ったBの速度を $v$ としたときBが測ったAの速度 $v’$ がどうなるか考えます。

簡単な場合として、観測者A、Bがそれぞれ慣性系にいるとします。

Aが測ったある時点でのBの移動距離 $x$ は、速度を時間で積分して求めることができます。

A、Bがそれぞれ慣性系にいる場合は、 $v$ は時刻によらず一定ですので、
　 $\displaystyle x=\int v\ dt=v×t$ 　（式１）
です。

逆に、Aが測ったBの移動距離 $x$ を、Aが測った時間 $t$ で微分すると、Aが測ったBの速度になります。
　 $\displaystyle v=\frac{d}{dt}x=\frac{d}{dt}(v×t)=v$

です。

式１は、Aにとっての時間と距離による式ですが、これをBにとっての（Bが測る）時間と距離で書き換えます。

まず、Aから見てBは速度 $v$ で動いていますから、Bにとっての距離はAから見て縮んでいます。

Bにとっての距離 $x’$ と、それをAから見た距離 $x$ との関係は、
　 $\displaystyle x’=\sqrt{1-v^2}×x$
です。

これに式１を適用すると、
　 $\displaystyle x’=\sqrt{1-v^2}×x=\sqrt{1-v^2}×(v×t)$ 　（式２）
です。

また、Bにとっての時間はAから見て伸びます。

Bにとっての微小時間 $dt’$ と、それをAから見た微小時間 $dt$ との関係は、
　 $\displaystyle dt’=\sqrt{1-v^2}×dt$
です。

両辺を積分すると、それぞれにとっての経過時間の関係になります。

　 $\displaystyle \int\ dt’=\int\sqrt{1-v^2}\ dt$

　 $\displaystyle t’=\sqrt{1-v^2}×t$

変形して、

　 $\displaystyle t=\frac{t’}{\sqrt{1-v^2}}$

です。

これを式２に代入すると、
　 $\displaystyle x’=\sqrt{1-v^2}×(v×t)$

　　 $\displaystyle =\sqrt{1-v^2}×\left(v×\frac{t’}{\sqrt{1-v^2}}\right)$

　　 $\displaystyle =v×t’$ 　（式３）
です。

式３は、Bの時間と長さで測った「Aから見たBの移動距離」です。

Bが測ったBの移動距離 $x’$ を、Bが測った時間 $t’$ で微分すると、Bが測ったBの速度 $v’$ になります。

　 $\displaystyle v’=\frac{d}{dt’}x’=\frac{d}{dt’}(v×t’)=v$ 　（式４）

です。

式４はBの時間と長さで測った「Aから見たBの速度」です。

速度の相対性から「Aから見たB速度」と「Bから見たA速度」は同じです。

したがって、式４はBの時間と長さで測った「Bから見たAの速度」です。（つづく）

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