深宇宙探査機は耐用年数でどこまで行ける - 柵（しがらみ）なき重力論

深宇宙探査機が地球を出発したのはいつだったでしょうか。
深宇宙探査機の設計上の耐用年数は１０年。
地球での時間はとっくにそれを過ぎています。深宇宙探査機はいつまで動作できるのでしょうか。
深宇宙探査機での経過時間 $\tau$ は、地球での経過時間 $t$ よりかなり伸びているはずです。
計算してみましょう。

深宇宙探査機での瞬間的な時間 $d\tau$ と、地球での時間 $dt$ とは、地球から見たその時点 $t$ での深宇宙探査機の速度を $v(t)$ とすると、
　 $d\tau = \sqrt{1 - v(t)^2}×dt$ 　（式１）
です。時間が伸びているからです。

速度 $v(t)$ は、以前に計算しました。
深宇宙探査機自体の加速度を $a$ とすると、

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$ 　（式２）

でした。

式１に式２を代入すると、

　 $\displaystyle d\tau = \sqrt{1 - \left(\frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}\right)^2}×dt$

　 $\displaystyle = \sqrt{1 - \frac{(a×t)^2}{1 + (a×t)^2}}×dt$

　 $\displaystyle = \sqrt{\frac{1 + (a×t)^2 - (a×t)^2}{1 + (a×t)^2}}×dt$

　 $\displaystyle = \sqrt{\frac{1}{1 + (a×t)^2}}×dt$

　 $\displaystyle = \frac{1}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}×dt$

となります。

この両辺を積分すると、地球を出発してからの経過時間になります。

　 $\displaystyle \int d\tau = \int \frac{1}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}dt$ 　（式３）

双曲線関数を使った置換積分をするのですが、

　 $\displaystyle \frac{d}{dx}\sinh^{-1}x = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}$ 　（公式１）

という公式を使います。

$x = a×t$ 、 $t = (1/a)×x$ と置換します。 $dt$ は、

　 $\displaystyle dt = \frac{dt}{dx}dx = (1/a)dx$

となります。

式３は、

　 $\displaystyle \int d\tau = \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}(1/a)dx$

　 $\displaystyle \int a d\tau = \int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}dx$ 　（式４）

となります。

式４の左辺の積分結果は、
　 $a×\tau + C$ 　（Cは積分定数）
です。

地球での経過時間がゼロのときは深宇宙探査機での経過時間もゼロなので、積分定数はゼロとします。

式４の右辺は公式１を使って、
　 $\sinh^{-1}x$
です。置換をもとに戻して、
　 $\sinh^{-1}(a×t)$
です。

式４の左辺＝右辺で
　 $a×\tau = \sinh^{-1}(a×t)$
です。

逆関数 $\sinh^{-1}$ を $\sinh$ に戻せば、
　 $a×t = \sinh(a×\tau)$ 　（式５）
となります。
（注意！式５は、地球から見て深宇宙探査機で $\tau$ 時間経っていたとき地球では $t$ 時間経っていたことになる、という式です。深宇宙探査機で $\tau$ 時間経っていたとき深宇宙探査機から見て地球では $t$ 時間経っていたことになる、という式ではありません）

具体的な数値を入れて、計算してみましょう。

光速度が1となる単位系での加速度 $a$ 、時間 $t$ と、われわれが日常使う単位系での加速度 $a′$ 、 $t’$ とは、光速度を $c$ とすると、
　 $a=a'/c^2$ 、 $1/a=c^2/a’$
　 $t = c×t’$ 、 $\tau = c×\tau’$
の関係にあります。

これを式５に代入して、
　 $(a'/c^2)×(c×t’) = \sinh( (a’/c^2)×(c×\tau’))$
　 $(a'/c)×t’ = \sinh( (a’/c)×\tau’)$
　 $t’ = (c/a’)×\sinh( (a’/c)×\tau’)$
です。
光速度 $c$ は、約 $3×10^8メートル／秒$ です。
１年は、 $3.15×10^7$ 秒です。
深宇宙探査機の加速度 $a’$ を地上の重力加速度（約 $10メートル／秒^2$ ）程度とします。
深宇宙探査機での経過時間を耐用年数である１０年（約 $3×10^8秒$ ）とすると、それに対応する地球時間は
　 $t’ = (c/a’)×\sinh( (a’/c)×\tau)$
　 $= ( (3×10^8)/10)×\sinh(10/(3×10^8)×(3×10^8))$
　 $= (3×10^7)×\sinh(10)$
　 $= (3×10^7)×(1×10^4)$
　 $= 3×10^{11}$ 秒
です。（ $\sinh$ の計算には「双曲線関数 - 高精度計算サイト - Keisan - CASIO」を使いました）