柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機に乗って、見る（５）

加速度系時空間

昨日の記事のつづき。加速度運動する深宇宙探査機に乗った観測者が見た、物体（地球）の速度についてです。

深宇宙探査機は、時刻 $t=0$ に地球を出発したとします。
その後、等加速度 $a$ で地球を離れていきます。

地球の位置は $x=0$ で、静止しているとします。

地球から見た深宇宙探査機の速度は、

　 $\displaystyle v=\frac{a×t}{\sqrt{1+(a×t)^2}}$ 　（式１）

地球から見た深宇宙探査機の軌道は、

　 $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$ 　（式２）

です。

地球から見て深宇宙探査機が位置 $x$ にいるとき、地球から見た深宇宙探査機までの距離は $x-0=x$ ですが、この距離を深宇宙探査機から見ると、
　 $l=x×\sqrt{1-v^2}$
に縮んでいます。

これを計算してみましょう。

深宇宙探査機が位置は、式１を変形して、

　 $\displaystyle (x+(1/a))^2=(1/a)^2+t^2$

　 $\displaystyle x+(1/a)=\sqrt{(1/a)^2+t^2}$

　 $\displaystyle x=\sqrt{(1/a)^2+t^2}-(1/a)$

　 $\displaystyle =(1/a)×\left(\sqrt{1+(a×t)^2}-1\right)$

です。

距離の縮みは、式２から、

　 $\displaystyle \sqrt{1-v^2}=\sqrt{1-\left(\frac{a×t}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\right)^2}$

　 $\displaystyle =\sqrt{1-\frac{(a×t)^2}{1+(a×t)^2}}$

　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1+(a×t)^2-(a×t)^2}{1+(a×t)^2}}$

　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{1+(a×t)^2}}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}$

です。

合わせると、
　 $l=x×\sqrt{1-v^2}$

　 $\displaystyle=(1/a)×\left(\sqrt{1+(a×t)^2}-1\right)×\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}$

　 $\displaystyle=(1/a)×\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2}}\right)$ 　（式３）

となります。

これが、深宇宙探査機から見た地球までの距離です。

深宇宙探査機から見て、地球がどれくらいの速度で離れていくのかは、これを時間で微分すればよいですね。

ただし、式３の $t$ は地球での時刻です。
深宇宙探査機から見た地球の速度を出すには、深宇宙探査機の時間で微分しなければなりません。（つづく）

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