特殊相対性理論で出てくるいろいろな式の中で、速度の合成の式は、最も強力だと思います。
速度の合成の式はどういう式だったか、復習しておきます。
系Aから見て、系A’は速度 で動いています。
系A’から見て、物体Cが速度を で動いています。
系Aから見た、物体Cの速度 は、
となります。
この速度の合成の式は、上の説明のとおり、ある系からみてある速度で動いている物体が、他の系から見るとどんな速度で動いているかを計算するのに使います。
速度は、等速度でなくてもよいのです。
例１：観測者が等加速運動している場合。
加速運動とは、次々に慣性系を乗り継いでいく運動です。
加速運動している観測者から見た、等速運動している物体の速度は、さっき観測者がいた慣性系Aから見た物体の速度と、いま観測者がいる慣性系A’から見た物体の速度とから求めることができます。
観測者が等加速度 で等加速運動をしているとします。
さっきといまとの微小時間差を とします。
さっき（時刻 ）観測者がいた慣性系から見た、いま（時刻
）観測者がいる慣性系の速度
は、
です。
さっきいた慣性系から見た物体の速度を とします。
いまいる慣性系から見た物体の速度 は、速度の合成の式に当てはめて、
となります。
この式から、
として微分方程式を導出し、それを解いて（積分して）、物体の速度 に関する式を求めることができます。（「深宇宙探査機に乗って、見る」を参照してください）
例２：物体が等加速運動している場合。
「物体が等加速運動している」という場合、それは、その物体にとっての加速度です。
もし、それ以外の観測者に対して「等加速運動している」のであれば、速度はいつか光速度を超えてしまいますよね。
いま、観測者に対して物体が速度 で動いているとします。
時刻 は観測者の時刻です。
観測者にとっての微小時間 後、物体の速度は
になっているとします。
物体は（その物体にとっての）等加速度 で加速しています。
物体にとっての微小時間 後、速度は
だけ増しています。
物体にとっての時間経過と観測者にとっての時間経過には、 の関係があります。
観測者に対して物体が速度 で動いているため、物体の時間が伸びて（ゆっくりいて）いるのです。
速度の合成の式に当てはめると、
となります。
例１と同じく、この式から、
として微分方程式を導出し、物体の速度 に関する式を求めることができます。（「深宇宙探査機を見送る」を参照してください）
速度の合成の式は、３つの系の速度の関係式です。式を変形するとそれがよくわかります。
上の例１は加速運動する観測者から見た等速運動する物体の速度、例２は等速運動する観測者から見た加速運動する物体の速度でした。
３つの系は、加速運動する観測者Aがさっきいた系、加速運動する観測者Aがいまいる系、それらを見る観測者Cの系です。
残念ながら、速度の合成の式は、加速運動する観測者から見た加速運動する物体の速度には使えません。
扱う系がひとつ足りないのです。
