おなじみの「速度の合成」 - 柵（しがらみ）なき重力論

アインシュタインの特殊相対性理論による速度の合成には、驚くべきことが二つあります。

ちょっとびっくり：単純な足し算じゃない

とってもびっくり：垂直方向の速度も変わる！

速度の合成とは、ある系（慣性系）Aで観測した物体の速度が $u$ であるとき、その系に対して速度 $v$ で動いている系A'で観測したその物体の速度 $w$ はどうなるか。

例えば、河川で草野球をしているピッチャーの投げた球の速度が $u$ であるとき、それをそばを通る新幹線の中から見たときの球の速度 $w$ はどうなるか、ということです。

ニュートン力学（ガリレイ変換）
　 $x’ = x - v×t$ 、 $y’ = y$ 、 $z’ = z$
では、速度の変換は、
　 $w_x = u_x + v_x$ 、 $w_y = u_y$ 、 $w_z = u_z$
となります。

ここで $(u_x, u_y, u_z)$ 、 $(w_x, w_y, w_z)$ は、それぞれ速度 $u$ 、 $w$ の $x$ 軸方向の成分、 $y$ 軸方向の成分、 $z$ 軸方向の成分です。

ガリレイ変換の変換の前提条件は
・系Aと系A’は、空間の直行する３軸（ $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸）の方向が一致
・３軸の原点 $(0, 0, 0)$ が一致
・系A’は、系Aから見て、 $x$ 軸方向へ等速度 $v$ で動いている
です。

特殊相対論（ローレンツ変換）ではどうなるでしょうか。

系Aに対し系A'が $x$ 軸方向に速度 $v_x$ で動いている（ $y$ 軸方向、 $z$ 軸方向の速度はゼロ）ときのローレンツ変換は、
　 $t = \gamma×(t' - v_x×x')$ 、
　 $x = \gamma×(x' - v_x×t')$ 、
　 $y = y'$ 、 $z = z'$
　（ $\displaystyle \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt {1-v_x^2}}$ ）
です。

このローレンツ変換の前提条件は、上記のガリレイ変換の条件に加えて、
・系Aと系A’は、時間軸の方向も一致
・時間軸の原点も一致
です。

まず $x$ 軸方向。系の相対速度の方向です。

系Aで、時刻 = 0 で $x$ 座標 = 0 にあった物体は、時刻 = $t$ で $x$ 座標 = $u_x×t$ にあります。式にすると、
　 $x = u_x×t$ 　（式１）
です。

これを系A'で見ると、時刻 = 0 で $x$ 座標 = 0 にあった物体が、時刻 = $t'$ で $x$ 座標 = $w_x×t'$ にあったとします。式にすると、
　 $x' = w_x×t'$ 　（式２）
です。

式１に $x$ と $t$ に関するローレンツ変換を適用して、
　 $\gamma×(x' - v_x×t') = u_x×\gamma×(t' - v_x×x')$

両辺を $\gamma$ で割って、 $()$ 内を展開して、
　 $x' - v_x×t' = u_x×t' + u_x×v_x×x'$

$x'$ に関するを左辺に、 $t'$ に関する項を右辺に移します。
　 $x' + u_x×v_x×x' = u_x×t' + v_x×t'$

$x'$ 、 $t'$ でくくって、
　 $(1 + u_x×v)×x' = (u_x + v_x)×t'$

$x'$ に関する式に直して、

　 $\displaystyle x' = \frac{u_x + v_x}{1 + u_x×v_x}×t'$ 　（式３）

式２と比較すると、

　 $\displaystyle w_x = \frac{u_x + v_x}{1 + u_x×v_x}$

となります。

単純な足し算じゃなくなるんですね。

次に $y$ 軸方向。系の相対速度の垂直方向です。

系Aで、時刻 = 0 で $x$ 座標 = 0 にあった物体は、時刻 = $t$ で $y$ 座標 = $u_y×t$ にあります。式にすると、
　 $y = u_y×t$ 　（式４）

系A'で見ると、時刻 = 0 で $y$ 座標 = 0 にあった物体が、時刻 = $t'$ で $y$ 座標 = $w_y×t'$ にあったとします。式にすると、
　 $y' = w_y×t'$ 　（式５）
とします。

式４に $y$ と $t$ に関するローレンツ変換を適用して、
　 $y' = u_y×\gamma×(t' - v_x×x')$ 　（式６）
です。

このうち、 $(t' - v_x×x')$ について、 $x'$ に、式３を代入します。

　 $\displaystyle (t' - v_x×x') = (t' - v_x×\frac{u_x + v_x}{1 + u_x×v_x}×t')$

$t'$ でくくります。

　 $\displaystyle \left(1 - v_x×\frac{u_x + v_x}{1 + u_x×v_x}\right)×t'$

　 $= \displaystyle \left(1 - \frac{u_x×v_x + v_x^2}{1 + u_x×v_x}\right)×t'$

通分します。

　 $\displaystyle \frac{(1 + u_x×v_x) - (u_x×v_x + v_x^2)}{1 + u_x×v_x}×t'$

　 $\displaystyle = \frac{1 - v_x^2}{1 + u_x×v_x}×t'$

式６に戻します。
　 $y' = u_y×\gamma×(t' - v_x×x')$

　 $\displaystyle = u_y×\gamma×\frac{1 - v_x^2}{1 + u_x×v_x}×t'$

$\gamma$ を展開します。

　 $\displaystyle y' = u_y×\frac {1}{\sqrt {1-v_x^2}}×\frac{1 - v_x^2}{1 + u_x×v_x}×t'$

　 $\displaystyle y' = u_y×\frac{\sqrt{1 - v_x^2}}{1 + u_x×v_x}×t'$ 　（式７）

式５と比較すると、

　 $\displaystyle w_y = u_y×\frac{\sqrt{1 - v_x^2}}{1 + u_x×v_x}$

　 $\displaystyle = \frac{u_y×\sqrt{1 - v_x^2}}{1 + u_x×v_x}$

となります。

垂直方向の速度も変わるんですね。

$z$ 軸方向も同じようにして、

　 $\displaystyle w_z = \frac{u_z×\sqrt{1 - v_x^2}}{1 + u_x×v_x}$

となります。

まとめると、

　 $\displaystyle w_x = \frac{u_x + v_x}{1 + u_x×v_x}$ 、

　 $\displaystyle w_y = \frac{u_y×\sqrt{1 - v_x^2}}{1 + u_x×v_x}$ 、

　 $\displaystyle w_z = \frac{u_z×\sqrt{1 - v_x^2}}{1 + u_x×v_x}$

です。

$u_x$ 、 $v_x$ のどちらかが１だと、 $w_x$ も１になります。
$u_x$ 、 $v_x$ の両方が１だと、 $w_x$ も１になります。
$u_x$ 、 $v_x$ の両方が１未満だと、 $w_x$ も１未満になります。
$v_x$ が１だと、 $w_y$ も $w_z$ もゼロになります。
$u_x$ 、 $v_x$ が非常に小さい(<<1)と、ガリレイ変換で近似できます。

合成された速度が１を超えることはありません。

速度＝１は、光速度のことです。

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