柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機に乗って、見る（８）

加速度系時空間時間の遅れ

昨日の記事記事のつづきです。

地球から見た深宇宙探査機の速度は、X軸方向が、

　 $\displaystyle v_x= \frac{a×t×(1-u_y^2)}{\sqrt{1+(a×t)^2×(1-u_y^2)}}$ 　（式１X）

Y軸方向が、

　 $\displaystyle v_y= u_y$ 　（式１Y）

です。

今回は、地球での時刻 $t$ を深宇宙探査機自体の時刻 $t'$ に変換したいと思います。

地球での微小時間 $dt$ と地球から見た深宇宙探査機自体の微小時間 $dt'$ との関係は $dt'=\sqrt{1-v^2}×dt$ ですので、その関係式を出し、それを積分して $t$ と $t'$ の関係式を導ききます。（計算中、掛け算の記号は省略します）

まず $v^2$ は、式１X、式１Yから、
　 $\displaystyle v^2=v_x^2 + v_y^2$

　　 $\displaystyle =\left(\frac{at(1-u_y^2)}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}\right)^2+u_y^2$

　　 $\displaystyle =\frac{(at)^2(1-u_y^2) +u_y^2}{1+(at)^2(1-u_y^2)}$ 　（式２）

です。（詳しい計算は「加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（５）」を参照ください）

微小時間の関係は、

　 $dt'=\sqrt{1-v^2}dt$

　　 $\displaystyle =\sqrt{1-\frac{(at)^2(1-u_y^2) +v^2}{1+(at)^2(1-u_y^2)}}dt$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1-u_y^2}{1+(at)^2(1-u_y^2)}}dt$

　 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-u_y^2}}dt'=\frac{1}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}dt$ 　　（式３）

です。（詳しい計算は「加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（５）」を参照ください）

この両辺を積分し、

　 $\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{1-u_y^2}}dt' = \int\frac{1}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}dt$

　 $\displaystyle \frac{t'}{\sqrt{1-u_y^2}}=\frac{1}{a\sqrt{1-u_y^2}}\mathrm{arsinh}(at\sqrt{1-u_y^2})$ 　（式４）

です。（詳しい計算は「加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（５）」を参照ください）

式を整理します。

　 $\displaystyle \frac{t'}{\sqrt{1-u_y^2}}=\frac{1}{a\sqrt{1-u_y^2}}\mathrm{arsinh}(at\sqrt{1-u_y^2})$

　 $\displaystyle at'=\mathrm{arsinh}(at\sqrt{1-u_y^2})$

　 $\displaystyle \sinh(at')=at\sqrt{1-u_y^2}$

　 $\displaystyle at=\frac{\sinh(at')}{\sqrt{1-u_y^2}}$ 　（式５）

地球での時刻 $t$ を深宇宙探査機自体の時刻 $t'$ に変換する式は、

　 $\displaystyle a×t=\frac{\sinh(a×t')}{\sqrt{1-u_y^2}}$

です。（つづく）

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