柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機に乗って、見る（７）

加速度系時空間

加速度運動する深宇宙探査機に乗った観測者が見た、物体（地球）の速度についてです。

地球がY軸方向に動いている場合を考えてみたいと思います。

深宇宙探査機は、時刻 $t=0$ に地球を出発し、その後、等加速度 $a$ でX軸方向に地球を離れていきます。

地球は時刻 $t=0$ で位置 $(0,0)$ にあり、Y軸方向に速度 $u_y$ で等速に動いているとします。

地球から見た深宇宙探査機の速度は、X軸方向が、

　 $\displaystyle v_x= \frac{a×t×(1-u_y^2)}{\sqrt{1+(a×t)^2×(1-u_y^2)}}$ 　（式１X）

Y軸方向が、

　 $\displaystyle v_y= u_y$ 　（式１Y）

です。（求め方は「加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（３）」を参照してください）

地球から見た深宇宙探査機の軌道は、X軸方向が、

　 $\displaystyle x =\frac{1}{a}×\left(\sqrt{1+a^2×t^2×(1-u_y^2) }-1\right)$ 　（式２X）

Y軸方向が、

　 $\displaystyle y = u_y×t$ 　（式２Y）

です。（求め方は「加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（２）」を参照してください）

地球から見て深宇宙探査機が位置 $(x,y)$ にいるとき、地球から見た深宇宙探査機までの距離は、X軸方向が $x-0=x$ 、Y軸方向が $y-0=y$ ですが、この距離を深宇宙探査機から見ると、それぞれ、
　 $l_x=x×\sqrt{1-v_x^2}$
　 $l_y=y×\sqrt{1-v_y^2}$

に縮んでいます。

これを計算してみましょう。（計算中、掛け算の記号は省略します）

X軸方向の距離の縮みは、式１Xから、

　 $\displaystyle \sqrt{1-v_x^2}=\sqrt{1-\left(\frac{at(1-u_y^2)}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}\right)^2}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{1-\frac{(at)^2(1-u_y^2)^2}{1+(at)^2(1-u_y^2)}}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1+(at)^2(1-u_y^2)-(at)^2(1-u_y^2)^2}{1+(at)^2(1-u_y^2)}}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{1+(at)^2(1-u_y^2)}}$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}$

です。

深宇宙探査機から見たX軸方向の距離は、式２Xと合わせて、

　 $\displaystyle l_x=x×\sqrt{1-v_x^2}$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}\left(\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2) }-1\right)×\frac{1}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}\right)$ 　（式３X）

です。

Y軸方向の距離の縮みは、式１Yから、

　 $\displaystyle \sqrt{1-v_y^2}=\sqrt{1-u_y^2}$

です。

深宇宙探査機から見たY軸方向の距離は、式２Yと合わせて、

　 $\displaystyle l_y=y×\sqrt{1-v_y^2}$

　　 $\displaystyle =u_yt×\sqrt{1-u_y^2}$ （式３Y）

です。

深宇宙探査機から見て、地球がどれくらいの速度で離れていくのかは、これらを時間で微分すればよいですね。

ただし、式３X、式３Yの $t$ は地球での時刻です。
深宇宙探査機から見た地球の速度を出すには、深宇宙探査機の時間で微分しなければなりません。（つづく）

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