柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

深宇宙探査機に乗って、見る（９）

加速度系時空間

昨日の記事のつづきです。

一昨日の記事で、深宇宙探査機から見た地球までの距離は、X軸方向が、

　 $\displaystyle \displaystyle l_x=\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(a×t)^2(1-u_y^2)}}\right)$ 　（式１X）

Y軸方向が、

　 $\displaystyle \displaystyle l_y=u_y×t×\sqrt{1-u_y^2}$ 　（式１Y）

でした。

昨日の記事で、地球での時刻 $t$ を深宇宙探査機自体の時刻 $t'$ に変換する式は、

　 $\displaystyle a×t=\frac{\sinh(a×t')}{\sqrt{1-u_y^2}}$ 　（式２）

でした。

式２を、式１X、式１Yに適用して、深宇宙探査機自体の時刻による式にします。

X軸方向は、

　 $\displaystyle \displaystyle l_x=\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+(at)^2(1-u_y^2)}}\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac{\sinh(at')}{\sqrt{1-u_y^2}}\right)^2(1-u_y^2)}}\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\frac{\sinh^2(at')}{1-u_y^2}(1-u_y^2)}}\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+\sinh^2(at')}}\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\sqrt{\cosh^2(at')}}\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}\left(1-\frac{1}{\cosh(at')}\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{a}-\frac{1}{a\cosh(at')}$ 　（式３X）

です。

Y軸方向は、

　 $\displaystyle \displaystyle l_y=u_yt\sqrt{1-u_y^2}$

　　 $\displaystyle \displaystyle =u_y\left(\frac{1}{a}\frac{\sinh(at')}{\sqrt{1-u_y^2}}\right)\sqrt{1-u_y^2}$

　　 $\displaystyle \displaystyle =\frac{u_y\sinh(at')}{a}$ 　（式３Y）

です。

式３X、式３Yを深宇宙探査機自体の時刻で微分すれば、深宇宙探査機から見た地球の速度が求まります。（つづく）

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