距離の逆3乗は双曲線?
「加速度が変化する場合(7)」で、加速度が原点からの距離の3乗に反比例する場合、
・時刻 のときの物体の位置は
・時刻 のときの物体の速度は
・加速度は原点からの距離の3乗に反比例: ( は比例定数)
物体の位置と時刻は、媒介変数 を使って、
(式1)
(式2)
となることを求めました。
式1、式2から、媒介変数 を消して、位置 と時刻 の直接的な関係式にしてみます。
式1から、
(式3)
式2から、
(式4)
です。
式3と式4をそれぞれ2乗して差し引きます。
(式5)
物体の軌道は双曲線ですね。
、 とすると、式5は、
となりますが、これは、等加速度 で動く物体を静止系から見た軌道になります。(「深宇宙探査機を見送る(4)」を参照してください)
のときの物体の位置が です。
物体の加速度は、静止系から見ると、位置の逆3乗に比例し です。
等加速度で動く物体を静止系から見ると、その加速度は物体の位置の逆3乗に比例するとは、何とも不思議ですね。
なぜそうなるの?
われわれの時空がミンコフスキー空間であるから、としか言えないのですが。