柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（２）

ローレンツ変換双曲線関数

y軸方向へ相対的に動いている慣性系AとA’からx軸方向へ動いている物体を見たとき、系A’から見た物体の位置と速度が系Aから見るとどう変換されるか。
その2回目です。

ローレンツ変換の式は、
　 $x’(t’)=x(t)$ 　（式１）
　 $y’(t') = \gamma×(y(t) - v×t)$ 　（式２）
　 $t’ = \gamma×(t - v×y(t))$ 　（式３）

（ここで、 $\displaystyle \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt {1-v^2}}$ ）

系A’から見た物体の位置 $x’(t’)$ 、 $y’(t’)$ の形がわかっているとして、それをもとに $x(t)$ 、 $y(t)$ の形を求めます。

今回は、物体がｘ軸方向へ等加速度 $a$ で動いている場合を考えます。
（物体の動きは「動いている物体を異なる慣性系から見る：Ｘ軸編」と同じです）

系A’から見た物体のｘ軸方向へ速度 $u’_x(t’)$ を、

　 $\displaystyle u’_x(t’) = \frac{a×t’ }{\sqrt{1 + (a×t’)^2}}$

とします。（時刻 $t’=0$ で物体の速度は $u’_x(0)=0$ とします）

系A’から見た物体のx軸の位置 $x’(t’)$ は、

　 $\displaystyle x’(t) = (1/a)×\sqrt{1 + (a×t’)^2} -(1/a)$ 　（式4）

とします。（時刻 $t’=0$ で物体のx軸の位置は $x’(0)=0$ とします）

物体はy軸方向へは動いていないとします。

系A’から見た物体のy軸方向への速度と位置は、
　 $\displaystyle u’_y(t’) = 0$
　 $\displaystyle y’(t’)=0$ 　（式５）
とします。

系Aから見た物体のy軸の位置 $y(t)$ は、式5に式2を代入して求めます。
　 $\displaystyle y’(t’)=0 = \gamma×(y(t) - v×t)$

両辺を $\gamma$ で割り、
　 $\displaystyle 0 = y(t) - v×t$
　 $\displaystyle y(t) = v×t$ 　（式6）
です。

系Aから見た物体のx軸の位置 $x(t)$ は、式4に、式1、式3、式６を代入して求めます。（以降、掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle x(t)=x’(t) = (1/a)\sqrt{1 + (at’)^2} -(1/a)$

式３を代入し、

　 $\displaystyle x(t)= (1/a)\sqrt{1 + (a( \gamma(t - vy(t))))^2} -(1/a)$

式６を代入し、

　 $\displaystyle x(t)= (1/a)\sqrt{1 + (a( \gamma(t - vvt)))^2} -(1/a)$

　　 $\displaystyle = (1/a)\sqrt{1 + (a( \gamma t(1 - v^2)))^2} -(1/a)$

　　 $\displaystyle = (1/a)\sqrt{1 + a^2\gamma^2 t^2(1 - v^2)^2} -(1/a)$

$\gamma$ を展開し、

　 $\displaystyle x(t)= (1/a)\sqrt{1 + a^2\left(\frac {1}{\sqrt {1-v^2}}\right)^2 t^2(1 - v^2)^2} -(1/a)$

　　 $\displaystyle = (1/a)\sqrt{1 + a^2\frac {1}{1-v^2} t^2(1 - v^2)^2} -(1/a)$

　　 $\displaystyle = (1/a)\sqrt{1 + (at)^2\frac {1}{1-v^2} (1 - v^2)^2} -(1/a)$

　　 $\displaystyle = (1/a)\sqrt{1 + (at)^2(1 - v^2)} -(1/a)$ 　（式７）

です。

まとめると、系Aから見た物体の位置 $x(t)$ は、

　 $\displaystyle x(t)= (1/a)\sqrt{1 + (a×t)^2×(1 - v^2)} -(1/a)$

　 $\displaystyle y(t) = v×t$

です。

$x(t)$ の性質を見るため式７を変形します。（ $x(t)$ を $x$ と書きます）

　 $\displaystyle x= (1/a)\sqrt{1 + (at)^2(1 - v^2)} -(1/a)$

　 $\displaystyle x+(1/a)= (1/a)\sqrt{1 + (at)^2(1 - v^2)}$

両辺を２乗します。

　 $\displaystyle (x+(1/a))^2= (1/a)^2(1 + (at)^2(1 - v^2))$

　 $\displaystyle (x+(1/a))^2= (1/a)^2 + t^2(1 - v^2))$

右辺第２項を左辺に移します。

　 $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2(1 - v^2))= (1/a)^2$

これは双曲線関数ですね。

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