柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速運動する物体を慣性系から見る：Ｙ軸編（３）

ローレンツ変換微分積分双曲線関数慣性系

昨日の記事で、x軸方向へ定加速度 $a$ で動いている物体を、y軸方向に速度 $v$ で動く慣性系Aから見たときの物体の位置 $x,y$ を求めました。

　 $\displaystyle x(t) =\frac{1}{a}×\left(\sqrt{1+ a^2×t^2×(1-v^2) }-1\right)$ 　（式1）

　 $\displaystyle y(t) = v×t$ 　（式2）

今回は、これらを微分して、系Aから見た物体の速度 $u$ を求めてみます。

まず、系Aから見た物体のy軸方向の速度 $u_y(t)$ は簡単なので、先にやってしまいます。
　 $\displaystyle u_y(t) = \frac{dy}{dt}$

式２を $t$ で微分します。
　 $\displaystyle u_y(t) = \frac{d}{dt}(v×t)=v$
です。

次に、系Aから見た物体のx軸方向の速度 $u_x(t)$ です。（結構長いです）
　 $\displaystyle u_x(t) = \frac{dx}{dt}$

式1を $t$ で微分します。

　 $\displaystyle u_x(t) = \frac{d}{dt}\frac{1}{a}×\left(\sqrt{1+ a^2×t^2×(1-v^2)}-1\right)$

定数項 $\displaystyle \frac{1}{a}$ を前に出します。また、定数項 $-1$ の微分はゼロですので、

　 $\displaystyle u_x(t) = \frac{1}{a}×\frac{d}{dt}\sqrt{1+ a^2×t^2×(1-v^2)}$ 　（式3）

式3で、 $\displaystyle a×t×\sqrt{1-v^2}=\beta=\sinh\theta$ と置きます。

　 $\displaystyle u_x(t) = \frac{1}{a}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d}{d\beta}\sqrt{1+ \beta^2}$

　 $\displaystyle u_x(t) = \frac{1}{a}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\sqrt{1+ \sinh^2\theta}$

　 $\displaystyle u_x(t) = \frac{1}{a}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\sqrt{\cosh^2\theta}$

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{1}{a}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\frac{d}{d\theta}\cosh\theta$ 　（式4）

となります。

双曲線関数の微分の公式から、

　 $\displaystyle \frac{d}{d\theta}\cosh\theta=\sinh\theta$

ですので、式4は

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{1}{a}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d\theta}{d\beta}×\sinh\theta$ 　（式5）

となります。

$\theta$ は先ほどの置き換えから、

　 $\displaystyle \theta=\sinh^{-1}\beta$

ですので、

　 $\displaystyle \frac{d\theta}{d\beta}=\frac{d}{d\beta}\sinh^{-1}\beta$

です。

これを使うと、式5は、

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{1}{a}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{d}{d\beta}\sinh^{-1}\beta×\sinh\theta$ 　（式６）

となります。

逆双曲線関数の微分の公式から、

　 $\displaystyle \frac{d}{d\beta}\sinh^{-1}\beta=\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}$

ですので、これを使うと式６は、

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{1}{a}×\frac{d\beta}{dt}×\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}×\sinh\theta$ 　（式７）

となります。

また、

　 $\displaystyle \frac{d\beta}{dt}=\frac{d}{dt}(a×t×\sqrt{1-v^2})$

　 $\displaystyle =a×\sqrt{1-v^2}$
ですので、式７は、

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{1}{a}×a×\sqrt{1-v^2}×\frac{1}{\sqrt{1+\beta^2}}×\sinh\theta$

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{\sqrt{1-v^2}}{\sqrt{1+\beta^2}}×\sinh\theta$ 　（式８）

です。

式８で、 $\displaystyle a×t×\sqrt{1-v^2}=\beta=\sinh\theta$ の置き換えをもとに戻し、

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{\sqrt{1-v^2}}{\sqrt{1+(a×t×\sqrt{1-v^2})^2}}×(a×t×\sqrt{1-v^2})$

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{\sqrt{1-v^2}×(a×t×\sqrt{1-v^2})}{\sqrt{1+(a×t)^2×(1-v^2)}}$

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{a×t×(1-v^2)}{\sqrt{1+(a×t)^2×(1-v^2)}}$

となりました。

まとめると、

　 $\displaystyle u_x(t)= \frac{a×t×(1-v^2)}{\sqrt{1+(a×t)^2×(1-v^2)}}$

　 $\displaystyle u_y(t) =v$
です。

f:id:Dr9000:20200718171051j:plain