柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度が変化する場合（８）

加速度系微分方程式双曲線関数

前回の記事で、加速度が原点からの距離の３乗に反比例する場合、

・時刻 $t=0$ のときの物体の位置は $x_0=x(0)\gt 0$
・時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=v(0)=0$
・加速度は原点からの距離の３乗に反比例： $\displaystyle a(t)=\frac{b}{x^3(t)}$ 　（ $b$ は比例定数）

媒介変数 $\theta$ で、物体の位置と時刻は、

　 $\displaystyle x(\theta)=x_0×\cosh \theta$ 　（式１）

　 $\displaystyle t(\theta)=\pm\frac{x_0^2}{\sqrt{b}}×\sinh\theta$ 　（式２）

となることを求めました。

本当に加速度が原点からの距離の３乗に反比例することになっているのか、確かめてみます。

まず、速度です。

$\displaystyle v=\frac{dx}{dt}$ ですが、媒介変数 $\theta$ を使っていますので、

　 $\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\frac{dx}{d\theta}$

となります。

$\displaystyle v=\frac{d\theta}{dt}$ を先に求めておきます。

式２から、（符号はとりあえずプラスを使います）

　 $\displaystyle \sinh\theta=\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×t$ 　

　 $\displaystyle \theta=\mathrm{arsinh}\left(\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×t\right)$

　 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{d}{dt}\mathrm{arsinh}\left(\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×t\right)$

逆双曲線関数の微分の公式を使い、

　 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt} =\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×t)^2}}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×\frac{1}{\sqrt{1+\frac{b}{x_0^4}×t^2}}$

第２項の分母・分子に $x_0^2$ を掛けて、

　 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×\frac{x_0^2}{\sqrt{x_0^4+b×t^2}}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{b}×\frac{1}{\sqrt{x_0^4+b×t^2}}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{x_0^4+b×t^2}}$

分母・分子を $\sqrt{b}$ で割って、

　 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x_0^4}{b}+t^2}}$

ですが、式２を使って $t$ を消すと、

　 $\displaystyle \frac{d\theta}{dt}=\frac{1}{\sqrt{\frac{x_0^4}{b}+(\frac{x_0^2}{\sqrt{b}}×\sinh\theta)^2}}$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\frac{x_0^4}{b}+\frac{x_0^4}{b}×\sinh^2\theta}}$

　　 $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{\frac{x_0^4}{b}}×\sqrt{1+\sinh^2\theta}}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{b}{x_0^4}}×\frac{1}{\sqrt{\cosh^2\theta}}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0^2}×\frac{1}{\cosh\theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0^2×\cosh\theta}$ 　（式３）

です。

$\displaystyle \frac{dx}{d\theta}$ は、式１から、

　 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(x_0×\cosh \theta)$

　　 $\displaystyle =x_0×\sinh \theta$ 　（式４）

です。

速度は、式３と式４とを合わせて、

　 $\displaystyle v=\frac{d\theta}{dt}\frac{dx}{d\theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0^2×\cosh\theta}×x_0×\sinh \theta$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}×\sinh \theta}{x_0×\cosh\theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0}×\tanh \theta$ 　（式５）

です。

加速度は $\displaystyle \alpha=\frac{dv}{dt}$ ですが、媒介変数 $\theta$ を使って、

　 $\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{d\theta}{dt}\frac{dv}{d\theta}$

となります。

$\displaystyle \frac{dv}{d\theta}$ は、式５から、

　 $\displaystyle \frac{dv}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\sqrt{b}}{x_0}×\tanh \theta\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0}×\frac{1}{\cosh^2 \theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0×\cosh^2 \theta}$ 　（式６）

です。

加速度は、式３と式６とを合わせて、

　 $\displaystyle \alpha=\frac{d\theta}{dt}\frac{dv}{d\theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{\sqrt{b}}{x_0^2×\cosh\theta}×\frac{\sqrt{b}}{x_0×\cosh^2 \theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{b}{x_0^3×\cosh^3\theta}$ 　（式７）

です。

式１を使うと、

　 $\displaystyle \alpha=\frac{b}{x^3}$

となり、加速度が距離の３乗に反比例することになっていることがわかりました。

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