柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

長さの縮み、時間の伸びの逆変換

ローレンツ変換

慣性系AとBが、相対速度 $v$ で動いているとします。

Aでの長さ $l$ （相対速度 $v$ の方向の長さ）は、Bから見て $l’=l×\sqrt{1-v^2}$ に縮みます。
（ $\sqrt{1-v^2}\leqq 0$ であることに注意。光速度を１としています）

例えば、相対速度が光速度の50%だとすると…。

Aが「この棒は１メートルあります」と言っている棒をBが見て「それは86.6センチしかないよ」、「この棒と同じだよ」といって86.6センチの棒をAに見せます。
（ $86.6=100×\sqrt{1-0.5^2}$ ）

それを見たAは「それは75センチしかないよ」、「この棒と同じだよ」といって75センチの棒をBに見せます。
（ $75=100×\sqrt{1-0.5^2}×\sqrt{1-0.5^2}$ ）

それを見たBは「それは65センチしかないよ」、「この棒と同じだよ」といって65センチの棒をAに見せます。
（ $65=100×\sqrt{1-0.5^2}×\sqrt{1-0.5^2}×\sqrt{1-0.5^2}$ ）

…と、棒がだんだん短くなりますが、これはよいのでしょうか？

この例で棒の長さがどんどん縮んでいくことは、それはそれでいいんです。
矛盾はありません。
相手の慣性系にある長さを見れば縮んで見えます。

では、Aの長さをBが見て $l’=l×\sqrt{1-v^2}$ に縮んでいることの逆変換は？

それは $l=l’÷\sqrt{1-v^2}$ に伸びることです。

Aでの長さが $l$ なら、AはBに「この長さは $l’=l×\sqrt{1-v^2}$ に見えるでしょう」と言えます。

Bから見てAの長さが $l’$ に見えるなら、Aでの長さは $l=l’÷\sqrt{1-v^2}$ です。

時間も同じです。

Aでの時間が $dt$ なら、AはBに「この時間は $dt’=dt×\sqrt{1-v^2}$ に見えるでしょう」と言えます。

Bから見てAの時間が $dt’$ に見えるなら、Aでの時間は $dt=dt’÷\sqrt{1-v^2}$ です。

地球から見てある天体までの距離が $l$ であるとき、その天体に向かって速度 $v$ で進んでいるロケットからは、その距離は $l’=l×\sqrt{1-v^2}$ に見えます。

ロケットが「その天体までの距離は $l'$ だ」と言うなら、地球から見た天体までの距離は $l=l'÷\sqrt{1-v^2}$ です。（長さの縮みの逆変換）

地球から見てロケットがその天体に着くまでの時間が $dt$ であるとき、ロケットにとってその天体に着くまでの時間は $dt’=dt×\sqrt{1-v^2}$ に見えます。

ロケットが「その天体までかかった時間は $dt'$ 」と言うなら、地球から見たロケットが天体に着くまでの時間は $dt=dt'÷\sqrt{1-v^2}$ です。（時間の伸びの逆変換）

速度はどちらから見ても、距離÷かかった時間
　 $v=l÷dt=l’÷dt’=(l×\sqrt{1-v^2})÷(dt×\sqrt{1-v^2})$
ですね。

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