柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

逆：離れていく物体の時間をグラフで考える（６）

座標時間の遅れ加速度系

物体から離れていく観測者から、物体の時間がどう見えるか、グラフで考える６回目です。（このシリーズの最終回です）

前回は、観測者から見た物体の時間の進み $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}$ を、観測者と物体との距離 $x_r$ の関数として求めました。

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=(a×x_r+1)- \sqrt{(a×x_r+1)^2-1}$ 　（式１）

ただし、 $x_r$ は物体の慣性系での観測者と物体との距離でした。

今回はこれを、観測者の慣性系での観測者と物体との距離に変換してみます。

物体の慣性系では観測者が速度

　 $\displaystyle v=\frac{a×t_r}{\sqrt{1+(a×t_r)^2}}$

で動いています。

物体の慣性系での距離が $x_r$ でしたので、観測者から見るとその距離は、

　 $\displaystyle l=x_r×\sqrt{1-v^2}$

に縮んで見えます。

これを計算すると、

　 $\displaystyle l=x_r×\sqrt{1-v^2}$

　 $\displaystyle =x_r×\sqrt{1-(\frac{a×t_r}{\sqrt{1+(a×t_r)^2}})^2}$

　 $\displaystyle =x_r×\sqrt{1-\frac{(a×t_r)^2}{1+(a×t_r)^2}}$

　 $\displaystyle =x_r×\sqrt{\frac{1+(a×t_r)^2-(a×t_r)^2}{1+(a×t_r)^2}}$

　 $\displaystyle =x_r×\sqrt{\frac{1}{1+(a×t_r)^2}}$

　 $\displaystyle =x_r×\frac{1}{\sqrt{1+(a×t_r)^2}}$

です。

観測者の軌道

　 $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$

から

　 $\displaystyle 1+(a×t_r)^2=(a×x_r+1)^2$

ですので、

　 $\displaystyle l=x_r×\frac{1}{\sqrt{1+(a×t_r)^2}}$

　 $\displaystyle l=x_r×\frac{1}{\sqrt{(a×x_r+1)^2}}$

　 $\displaystyle l=x_r×\frac{1}{a×x_r+1}$

です。

$x_r$ を表す式に変形します。

　 $\displaystyle l=x_r×\frac{1}{a×x_r+1}$

　 $\displaystyle l×(a×x_r+1)=x_r$

　 $\displaystyle a×x_r×l+l=x_r$

　 $\displaystyle a×x_r×l-x_r=-l$

　 $\displaystyle x_r-a×x_r×l=l$

　 $\displaystyle x_r×(1-a×l)=l$

　 $\displaystyle x_r=\frac{l}{1-a×l}$

これを式１に代入します。

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=(a×x_r+1)- \sqrt{(a×x_r+1)^2-1}$

　 $\displaystyle =(\frac{a×l}{1-a×l}+1)- \sqrt{(\frac{a×l}{1-a×l}+1)^2-1}$

　 $\displaystyle =\frac{a×l+1-a×l}{1-a×l}- \sqrt{(\frac{a×l+1-a×l}{1-a×l})^2-1}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{1-a×l}- \sqrt{(\frac{1}{1-a×l})^2-1}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{1-a×l}- \sqrt{\frac{1}{(1-a×l)^2}-1}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{1-a×l}- \sqrt{\frac{1-(1-a×l)^2}{(1-a×l)^2}}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{1-a×l}- \frac{\sqrt{1-(1-a×l)^2}}{1-a×l}$

　 $\displaystyle =\frac{1-\sqrt{1-(1-a×l)^2}}{1-a×l}$ 　（式２）

です。

極限値をはっきりさせるため、式２の分子・分母に $1+\sqrt{1-(1-a×l)^2}$ を掛けます。

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=\frac{1-\sqrt{1-(1-a×l)^2}}{1-a×l}$

　 $\displaystyle =\frac{(1-\sqrt{1-(1-a×l)^2})×(1+\sqrt{1-(1-a×l)^2})}{(1-a×l)×(1+\sqrt{1-(1-a×l)^2})}$

　 $\displaystyle =\frac{(1-(1-(1-a×l)^2)}{(1-a×l)×(1+\sqrt{1-(1-a×l)^2})}$

　 $\displaystyle =\frac{(1-a×l)^2}{(1-a×l)×(1+\sqrt{1-(1-a×l)^2})}$

　 $\displaystyle =\frac{1-a×l}{1+\sqrt{1-(1-a×l)^2}}$

です。

観測者から見た物体の時間の進みは、 $l=0$ で $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=\frac{1}{1}=1$ 。
観測者の時間の進みと、物体の時間の流れは同じです。

$l=1/a$ で $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=\frac{0}{2}=0$ 。
観測者から見て、物体の時間は止まります。

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