柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

逆：離れていく物体の時間をグラフで考える（４）

座標時間の遅れ加速度系

物体から離れていく観測者から、物体の時間がどう見えるか、グラフで考える４回目です。

前回は、観測者から見た物体の時間の進み $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}$ を、観測者が物体を見る時刻 $t_r$ の関数として求めました。

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=1- \frac{t_r}{\sqrt{t_r^2+(1/a)^2}}$ 　（式１）

物体と観測者には距離があるので、観測者は過去の物体を見ています。

今回は、 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}$ を観測者が見た物体との距離 $x_r$ で表してみたいと思います。

物体がいる慣性系から見た観測者の軌道は $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$ です。

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観測者は物体から等加速度で離れていきます。

観測者が光を受けた（物体を見た）位置を $x_r$ とすると、物体が光を放った位置は $0$ ですので、その距離は $x_r-0=x_r$ です。

$x_r$ は観測者の軌道から、

　 $\displaystyle (x_r+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$

を満たします。

式１に代入するため、 $\displaystyle \sqrt{t_r^2+(1/a)^2}$ と $\displaystyle t_r$ を求めます。

まず、

　 $\displaystyle (x_r+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$

を変形して、

　 $\displaystyle (x_r+(1/a))^2=(1/a)^2+t_r^2$

　 $\displaystyle \sqrt{(1/a)^2+t_r^2} =x_r+(1/a)$

です。

同じく、

　 $\displaystyle (x_r+(1/a))^2-(1/a)^2=t_r^2$

　 $\displaystyle x_r^2+2(1/a)x_r+(1/a)^2-(1/a)^2=t_r^2$

　 $\displaystyle x_r^2+2(1/a)x_r=t_r^2$

　 $\displaystyle t_r^2=x_r^2+2(1/a)x_r$

　 $\displaystyle =(x_r+(1/a))^2-(1/a)^2$

　 $\displaystyle t_r=\sqrt{(x_r+(1/a))^2-(1/a)^2}$

です。

これらを式１に代入して、

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=1- \frac{t_r}{\sqrt{t_r^2+(1/a)^2}}$

　 $\displaystyle =1- \frac{\sqrt{(x_r+(1/a))^2-(1/a)^2}}{x_r+(1/a)}$

　 $\displaystyle =1- \sqrt{\frac{(x_r+(1/a))^2-(1/a)^2}{ (x_r+(1/a))^2}}$

　 $\displaystyle =1- \sqrt{1-\frac{(1/a)^2}{ (x_r+(1/a))^2}}$

　 $\displaystyle =1- \sqrt{1-\frac{1}{ (ax_r+1)^2}}$

となります。

観測者から見た物体の時間の進みは、 $x_r=0$ で $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=1$ 。つまり、観測者と物体の時間の進みは同じ。

また $x_r\to\infty$ で $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}\to 0$ 。つまり、観測者から見て物体の時間は止まっています。

ただし、 $dt_r$ は物体の慣性系での時間間隔、 $x_r$ は物体の慣性系での距離であり、観測者のいる慣性系での時間間隔や距離ではありません。（つづく）

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