柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

逆：離れていく物体の時間をグラフで考える（５）

座標時間の遅れ加速度系

物体から離れていく観測者から、物体の時間がどう見えるか、グラフで考える５回目です。（このシリーズ、長いですね）

前回は、観測者から見た物体の時間の進み $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}$ を、観測者と物体との距離 $t_r$ の関数として求めました。

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=1- \sqrt{1-\frac{1}{ (ax_r+1)^2}}$ 　（式１）

ただし、 $dt_r$ は物体の慣性系での時間間隔でした。

今回はこれを、観測者の慣性系での時間間隔 $d\tau$ で考え、 $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}$ を求めててみます。

$dt_r$ は、物体が短い時間間隔 $dt_s$ で２回放った光を観測者が受け取る時間間隔でした。

観測者が１回目の光を受け取ったイベントと２回目の光を受け取ったイベントとの世界間隔 $s$ の２乗は、物体の慣性系では観測者が速度

　 $\displaystyle v=\frac{a×t_r}{\sqrt{1+(a×t_r)^2}}$

で動いていますので、時間間隔の２乗-空間間隔の２乗で、

　 $\displaystyle s^2=dt_r^2-(v×dt_r)^2$

　 $\displaystyle =dt_r^2-\left(\frac{a×t_r}{\sqrt{1+(a×t_r)^2}}×dt_r\right)^2$

　 $\displaystyle =dt_r^2×\left(1-\left(\frac{a×t_r}{\sqrt{1+(a×t_r)^2}}\right)^2\right)$

　 $\displaystyle =dt_r^2×\left(1-\frac{(a×t_r)^2}{1+(a×t_r)^2}\right)$

　 $\displaystyle =dt_r^2×\frac{1+(a×t_r)^2-(a×t_r)^2}{1+(a×t_r)^2}$

　 $\displaystyle =dt_r^2×\frac{1}{1+(a×t_r)^2}$

です。

これを、観測者と物体との距離 $x_r-0=x_r$ で表すと、観測者の軌道

　 $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$

から

　 $\displaystyle 1+(a×t_r)^2=(a×x_r+1)^2$

ですので、

　 $\displaystyle s^2=dt_r^2×\frac{1}{1+(a×t_r)^2}$

　 $\displaystyle =dt_r^2×\frac{1}{(a×x_r+1)^2}$

となります。

一方、観測者の慣性系では、ふたつのイベントの世界間隔は、観測者が静止していますので、

　 $\displaystyle s^2=d\tau_r^2-0=d\tau_r^2$

となります。

世界間隔はどの慣性系で測っても等しいですので、

　 $\displaystyle dt_r^2×\frac{1}{(a×x_r+1)^2}=d\tau_r^2$

　 $\displaystyle \frac{dt_r^2}{d\tau_r^2}=(a×x_r+1)^2$

　 $\displaystyle \frac{dt_r}{d\tau_r}=a×x_r+1$

です。

求めたい $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}$ は、

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=\frac{dt_s}{dt_r}×\frac{dt_r}{d\tau_r}$

これを式１に適用して、

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=\frac{dt_s}{dt_r}×\frac{dt_r}{d\tau_r}$

　 $\displaystyle =\left(1- \sqrt{1-\frac{1}{ (a×x_r+1)^2}}\right)×(a×x_r+1)$

　 $\displaystyle =(a×x_r+1)- \sqrt{(a×x_r+1)^2-\frac{(a×x_r+1)^2}{ (a×x_r+1)^2}}$

　 $\displaystyle =(a×x_r+1)- \sqrt{(a×x_r+1)^2-1}$

です。

観測者から見た物体の時間の進みは、 $x_r=0$ で $\displaystyle \frac{dt_s}{d\tau_r}=1$ 。
$x_r\to\infty$ で $\displaystyle \frac{dt_s}{dt\tau_r}\to 0$ です。

ただし、 $x_r$ は物体の慣性系での距離であり、観測者のいる慣性系での距離ではありません。（つづく）

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