柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

逆：離れていく物体の時間をグラフで考える（３）

座標時間の遅れ加速度系

前回からちょっとあいてしまいましたが、物体から離れていく観測者から、物体の時間がどう見えるか、グラフで考える３回目です。

前回は、観測者から見た物体の時間の進み $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}$ を $t_s$ の関数として求めました。

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=\frac{2(a×t_s-1)^2}{(a×t_s-1)^2+1}$

$dt_s$ は物体の時間の進み、 $dt_s$ は観測者の時間の進み、 $a$ は観測者の加速度、 $t_s$ は観測者が見る物体の時刻です。（物体と観測者には距離があるので、観測者が見る物体は、「いま」の物体ではなく、時刻 $t_s$ のときの物体です）

今回は、 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}$ を、観測者が物体を見る「いま」の時刻 $t_r$ で表してみたいと思います。

物体がいる慣性系から見た観測者の軌道は $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$ です。

物体から観測者に向かって、時刻 $t=t_s$ に光が放たれます。
光の軌道は、 $x=t-t_s$ です。

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観測者が光を受ける（物体を見る）のは、光の軌道と観測者の軌道との交点になります。交点を $(t_r,x_r)$ とすると、（計算式の途中、掛け算の記号は省略します）

$\displaystyle (x_r+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$ と $x_r=t_r-t_s$ とから、

　 $\displaystyle ( (t_r-t_s)+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$

です。

これを $t_s$ を表す式に変形します。

　 $\displaystyle ( (t_r-t_s)+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$

両辺に $a^2$ を掛けます。

　 $\displaystyle ( a(t_r-t_s)+1)^2-a^2t_r^2=1$

第１項の２乗を展開し、

　 $\displaystyle ( a^2(t_r-t_s)^2+2a(t_r-t_s)+1)-a^2t_r^2=1$

両辺から $1$ を引き、

　 $\displaystyle a^2(t_r-t_s)^2+2a(t_r-t_s)-a^2t_r^2=0$

両辺を $a$ で割り、

　 $\displaystyle a(t_r-t_s)^2+2(t_r-t_s)-at_r^2=0$

第１，２項を展開し、

　 $\displaystyle (atr^2-2at_rt_s+at_s^2)+(2t_r-2t_s)-at_r^2=0$

$at_r^2$ を相殺し、

　 $\displaystyle -2at_rt_s+at_s^2+2t_r-2t_s=0$

$t_s$ にかかる項をまとめ、

　 $\displaystyle at_s^2-2(at_r+1)t_s+2t_r=0$

です。

$t_s$ の２次方程式になりましたので、根の公式 $\displaystyle \left(\frac{-\beta\pm\sqrt{\beta^2-4\alpha\gamma}}{2\alpha}\right)$ を使います。

$\alpha=a$ 、 $\beta=-2(at_r+1)$ 、 $\gamma=2t_r$ を根の公式に代入し、

　 $\displaystyle t_s=\frac{2(at_r+1)\pm\sqrt{4(at_r+1)^2-8at_r}}{2a}$

　 $\displaystyle =\frac{2(at_r+1)\pm2\sqrt{(at_r+1)^2-2at_r}}{2a}$

　 $\displaystyle =\frac{at_r+1\pm\sqrt{(at_r+1)^2-2at_r}}{a}$

　 $\displaystyle =\frac{at_r+1\pm\sqrt{(at_r^2+2at_r+1)-2at_r}}{a}$

　 $\displaystyle =\frac{at_r+1\pm\sqrt{a^2t_r^2+1}}{a}$

　 $\displaystyle =\frac{a(t_r+(1/a))\pm a\sqrt{t_r^2+(1/a)^2}}{a}$

　 $\displaystyle =(t_r+(1/a))\pm\sqrt{t_r^2+(1/a)^2}$

となりますが、 $t_s$ は $t_r$ より過去（小さい）ですので、 $\pm$ の $-$ を選びます。

　 $\displaystyle =(t_r+(1/a))-\sqrt{t_r^2+(1/a)^2}$

です。

これを $t_r$ で微分して、 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}$ を求めます。

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=\frac{d}{dt_r}( (t_r+(1/a))-\sqrt{t_r^2+(1/a)^2})$

　 $\displaystyle =\frac{d}{dt_r}(t_r+(1/a))-\frac{d}{dt_r}(\sqrt{t_r^2+(1/a)^2})$

第１項は、

　 $\displaystyle \frac{d}{dt_r}(t_r+(1/a))=1$

第２項は、 $t_r^2+(1/a)^2=Z$ と置いて、

　 $\displaystyle \frac{d}{dt_r}(\sqrt{t_r^2+(1/a)^2})= \frac{dZ}{dt_r}\frac{d}{dZ}\sqrt{Z}$

　 $\displaystyle = (2t_r)( (1/2)Z^{-(1/2)})$

　 $\displaystyle = t_rZ^{-(1/2)}$

　 $\displaystyle = t_r\frac{1}{\sqrt{Z}}$

　 $\displaystyle = \frac{t_r}{\sqrt{t_r^2+(1/a)^2}}$

です。

第１項、第２項合わせて、

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=1- \frac{t_r}{\sqrt{t_r^2+(1/a)^2}}$

です。

観測者から見た物体の時間の進みは、 $t_r\to\infty$ で $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}\to 0$ 。
つまり、物体の時間は止まって見えます。

ただし、 $dt_r$ 、 $dr_s$ は、物体の慣性系での時間間隔です。（つづく）

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