柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

逆：離れていく物体の時間をグラフで考える（２）

座標時間の遅れ加速度系

物体から離れていく観測者から、物体の時間がどう見えるか、グラフで考える２回目です。
観測者が等加速度で物体から離れていく場合について考えます。（物体が観測者から離れていくの逆パターンです）

物体がいる慣性系から見た観測者の軌道を $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$ とします。（時刻 $t=0$ で位置 $x=0$ に観測者がいます）

$x$ は観測者の位置、 $a$ は観測者自体の加速度、 $t$ は物体の慣性系の座標での時刻です。

物体から観測者に向かって、時刻 $t=t_s$ に光が放たれたとします。

光の軌道は、 $x=t-t_s$ です。

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観測者が光を受けるのは、光の軌道と観測者の軌道との交点になります。交点を $(t_r,x_r)$ とすると、（計算式の途中、掛け算の記号は省略します）

$\displaystyle (x_r+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$ と $x_r=t_r-t_s$ とから、

　 $\displaystyle ( (t_r-t_s)+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$

です。

これを $t_r$ を表す式に変形します。

　 $\displaystyle ( (t_r-t_s)+(1/a))^2-t_r^2=(1/a)^2$

第１項の２乗を展開し、

　 $\displaystyle (t_r-t_s)^2+2(t_r-t_s)(1/a)+(1/a)^2-t_r^2=(1/a)^2$

$(1/a)^2$ を両辺から相殺し、

　 $\displaystyle (t_r-t_s)^2+2(t_r-t_s)(1/a)-t_r^2=0$

第１，２項を展開し、

　 $\displaystyle t_r^2-2t_rt_s+t_s^2+2(1/a)t_r-2(1/a)t_s-t_r^2=0$

$t_r^2$ を相殺し、

　 $\displaystyle -2t_rt_s+t_s^2+2(1/a)t_r-2(1/a)t_s=0$

$t_r$ でくくり、

　 $\displaystyle -2t_rt_s+2(1/a)t_r=2(1/a)t_s-t_s^2$

　 $\displaystyle t_r(2(1/a)-2t_s)=2(1/a)t_s-t_s^2$

　 $\displaystyle t_r=\frac{2(1/a)t_s-t_s^2}{2(1/a)-2t_s}$

　 $\displaystyle =\frac{t_s^2-2(1/a)t_s}{2t_s-2(1/a)}$

　 $\displaystyle =\frac{t_s^2-2(1/a)t_s}{2(t_s-(1/a))}$

右辺の分子を完全平方で整理し、

　 $\displaystyle t_r=\frac{(t_s-(1/a))^2-(1/a)^2}{2(t_s-(1/a))}$

　 $\displaystyle =\frac{(t_s-(1/a))}{2}-\frac{(1/a)^2}{2(t_s-(1/a))}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}(t_s-(1/a))-\frac{1}{2a^2}\frac{1}{t_s-(1/a)}$ 　（式１）

となります。

物体が微小時間間隔 $dt_s$ で光を２回放ち、観測者が微小時間間隔 $dt_r$ でそれらを受け取るとします。

$dt_s$ と $dt_r$ の違いが、観測者から見た物体の時間と観測者の時間との進みの違いになります。

式１を $t_s$ で微分して、 $\displaystyle \frac{dt_r}{dt_s}$ を求めます。（あとで逆数を取ります）

　 $\displaystyle \frac{dt_r}{dt_s}=\frac{d}{dt_s}\left(\frac{1}{2}(t_s-(1/a))-\frac{1}{2a^2}\frac{1}{t_s-(1/a)}\right)$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}\frac{d}{dt_s}(t_s-(1/a))-\frac{1}{2a^2}\frac{d}{dt_s}\frac{1}{t_s-(1/a)}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{1}{2a^2}\left(-\frac{1}{(t_s-(1/a))^2}\right)$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2a^2}\frac{1}{(t_s-(1/a))^2}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\frac{1}{(at_s-1)^2}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}+\frac{1}{2(at_s-1)^2}$

　 $\displaystyle =\frac{(at_s-1)^2+1}{2(at_s-1)^2}$

です。

逆数を取って、

　 $\displaystyle \frac{dt_s}{dt_r}=\frac{2(at_s-1)^2}{(at_s-1)^2+1}$

となります。

観測者から見た物体の時間の進みは、 $t_s=1/a$ でゼロ。

つまり、物体の時間は止まって見えます。

ただし、 $dt_r$ 、 $dr_s$ は、物体の慣性系での時間間隔ですので、観測者から見てどうなるかは、これを、観測者の慣性系から見た時間間隔に変換しなければなりません…。（ちょっと長くなるので、つづく）

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