柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速する物体の見かけの加速度（３改）

加速度系双曲線関数

一昨日の記事で、等加速度 $\alpha$ で動く物体を慣性系から見たときの見かけの速度 $v_i(t)$ について、観測者に近づいてくる場合は、

　 $\displaystyle v_i(t)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2\phi}-1)$ 　（式１）

離れていく場合は、

　 $\displaystyle v_i=\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2\phi})$ 　（式２）

という式を導きました。

また昨日の記事で $\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{\phi}$ を計算しておきました。

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{\phi}=\frac{2×\alpha}{1+\mathrm{e}^{-2\phi}}$ 　（式３）

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{-\phi}=\frac{-2×\alpha}{\mathrm{e}^{2\phi}+1}$ 　（式４）

今回は、これを使って、式１、式２を微分し、等加速度 $\alpha$ で動く物体を慣性系から見たときの見かけの加速度 $a_i(t)$ を導きたいと思います。

観測者に近づいてくる場合は、式１から、

　 $\displaystyle a_i(t)=\frac{d}{dt}\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2\phi}-1)$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}×(\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{2\phi}-\frac{d}{dt}1)$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}×\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{2\phi}$

ここで、 $\displaystyle \mathrm{e}^{\phi}=Z$ と置いて、

　 $\displaystyle a_i(t)=\frac{1}{2}×\frac{dZ}{dt}\frac{d}{dZ}Z^2$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}×\frac{dZ}{dt}×(2×Z)$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}×(2×Z)×\frac{dZ}{dt}$

　 $\displaystyle =Z×\frac{dZ}{dt}$

$\displaystyle \mathrm{e}^{\phi}=Z$ をもとに戻して、

　 $\displaystyle a_i(t)=\mathrm{e}^{\phi}×\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{\phi}$

式３を使って、

　 $\displaystyle a_i(t)=\mathrm{e}^{\phi}×\frac{2×\alpha}{1+\mathrm{e}^{-2\phi}}$

　 $\displaystyle =\frac{2×\alpha×\mathrm{e}^{\phi}}{1+\mathrm{e}^{-2\phi}}$

分子・分母に $\displaystyle \mathrm{e}^{\phi}$ を掛けて、

　 $\displaystyle a_i(t)=\frac{2×\alpha×\mathrm{e}^{2\phi}}{\mathrm{e}^{\phi}+\mathrm{e}^{-\phi}}$ 　（式５）

となります。

観測者から離れていく場合は、式２から、

　 $\displaystyle a_i(t)=\frac{d}{dt}\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2\phi})$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}×(\frac{d}{dt}1-\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{-2\phi})$

　 $\displaystyle =-\frac{1}{2}×\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{-2\phi}$

ここで、 $\displaystyle \mathrm{e}^{-\phi}=Z$ と置いて、

　 $\displaystyle a_i(t)=-\frac{1}{2}×\frac{dZ}{dt}\frac{d}{dZ}Z^{2}$

　 $\displaystyle =-\frac{1}{2}×\frac{dZ}{dt}×(2×Z)$

　 $\displaystyle =-\frac{1}{2}×(2×Z)×\frac{dZ}{dt}$

　 $\displaystyle =-Z×\frac{dZ}{dt}$

$\displaystyle \mathrm{e}^{-\phi}=Z$ をもとに戻して、

　 $\displaystyle =-\mathrm{e}^{-\phi}×\frac{d}{dt}\mathrm{e}^{-\phi}$

式４を使って、

　 $\displaystyle a_i(t)=-\mathrm{e}^{-\phi}×\frac{-2×\alpha}{\mathrm{e}^{2\phi}+1}$

　 $\displaystyle =\frac{2×\alpha×\mathrm{e}^{-\phi}}{\mathrm{e}^{2\phi}+1}$

分子・分母に $\displaystyle \mathrm{e}^{-\phi}$ を掛けて、

　 $\displaystyle a_i(t)=\frac{2×\alpha×\mathrm{e}^{-2\phi}}{\mathrm{e}^{\phi}+\mathrm{e}^{-\phi}}$ 　（式６）

となります。

微分の計算は、より簡単にできましたね。

f:id:Dr9000:20200823141758j:plain