加速度運動する物体の系との座標変換（２）

昨日の記事で、観測者の慣性系Aと、等加速度運動する物体の慣性系A'との座標変換の式を導きました。

　 $\displaystyle t'= (ax_o+1)×t -at_o×x$ 　（式１）
　 $\displaystyle x'= (ax_o+1)×x-at_o×t$ 　（式２）

系Aから見た物体の軌道は、
　 $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$
です。（時刻 $t=0$ で位置 $x=0$ としました）

加速度運動する物体は、次々に慣性系を乗り継いでいきます。

系Aから見た物体が $(t_o,x_o)$ にあるときに物体がいる慣性系がA'です。

式１、式２に、系Aでの物体の座標自体 $(t_o,x_o)$ を入れると、系A'での物体の座標 $(t_o',x_o')$ が求まります。

時刻の座標は、式1に $t=t_o$ 、 $x=x_o$ を代入し、
　 $\displaystyle t'= (ax_o+1)×t -at_o×x$
　 $\displaystyle t_o'= (ax_o+1)×t_o -at_o×x_o$
　 $\displaystyle = ax_ot_o+t_o -at_o×x_o$
　 $\displaystyle = t_o$
です。

位置の座標は、式２に $t=t_o$ 、 $x=x_o$ を代入し、
　 $\displaystyle x'= (ax_o+1)×x-at_o×t$
　 $\displaystyle x_o'= (ax_o+1)×x_o-at_o×t_o$
　 $\displaystyle = ax_o^2+x_o-at_o^2$
です。

物体の軌道の式を変形します。
　 $\displaystyle (x_o+(1/a))^2-t_o^2=(1/a)^2$

$-t_o^2$ だけを左辺に残し、
　 $\displaystyle -t_o^2=(1/a)^2- (x_o+(1/a))^2$
　 $\displaystyle =(1/a)^2- (x_o^2+2(1/a)x_o+(1/a)^2)$
　 $\displaystyle =- x_o^2-2(1/a)x_o)$