柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度運動する物体の系との座標変換（１）

ローレンツ変換加速度系座標慣性系

加速度運動する物体は次々に慣性系を乗り換えていきます。
物体は、瞬間瞬間、その慣性系に固定されています。

その物体を見ている観測者がいる慣性系Aでの座標 $P(t,x)$ を、物体が「いま」いる慣性系A'での座標 $P'(t’,x’)$ に変換してみます。（今回は、系Aから系A'への座標の変換式を求めるまで）

系Aと系A'は慣性系ですので、座標変換にはローレンツ変換が使えます。
　 $t’ = \gamma×(t - v×x)$ 　（式１）
　 $x’ = \gamma×(x - v×t)$ 　（式２）
（ここで、 $\displaystyle \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt {1-v^2}}$ ）

また、系Aから見た、ある時点 $t=t_o$ での物体の速度（系A’の速度） $v_o$ は、
　 $\displaystyle v_o = \frac{a×t_o}{\sqrt{1 + (a×t_o)^2}}$
です。（ $a$ は物体自体の加速度。時刻 $t=0$ で速度 $v=0$ としました）

系Aから見た物体の軌道は、
　 $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$
です。（時刻 $t=0$ で位置 $x=0$ としました）

物体の軌道の式を変形します。

　 $\displaystyle (x_o+(1/a))^2-t_o^2=(1/a)^2$

両辺に $a^2$ を掛けて、
　 $\displaystyle (a×x_o+1)^2-(a×t_o)^2=1$

$t_o$ を右辺に移し、
　 $\displaystyle (a×x_o+1)^2=1+(a×t_o)^2$

両辺の平方根を取り、
　 $\displaystyle a×x_o+1=\sqrt{1+(a×t_o)^2}$

です。

これを使って物体の速度の式を書き直します。

$\displaystyle v_o = \frac{a×t_o}{\sqrt{1 + (a×t_o)^2}}$

$\displaystyle = \frac{a×t_o}{ a×x_o+1}$

$\displaystyle = \frac{t_o}{ x_o+(1/a)}$

まず、 $\displaystyle \gamma= \frac {1}{\sqrt {1-v_o^2}}$ を計算しておきます。

$1-v_o^2$ は、

　 $\displaystyle 1-v_o^2=1- \left(\frac{t_o}{ x_o+(1/a)}\right)^2$

　 $\displaystyle =1- \frac{t_o^2}{(x_o+(1/a))^2}$

　 $\displaystyle =\frac{(x_o+(1/a))^2-t_o^2}{(x_o+(1/a))^2}$

分子に物体の軌道の式を適用して、

　 $\displaystyle 1-v_o^2=\frac{(1/a)^2}{(x_o+(1/a))^2}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{(ax_o+1)^2}$

です。

$\sqrt{1-v_o^2}$ は、

　 $\displaystyle \sqrt{1-v_o^2}=\sqrt{\frac{1}{(ax_o+1)^2}}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{ax_o+1}$

です。

$\displaystyle \frac {1}{\sqrt {1-v_o^2}}$ はその逆数で、

　 $\displaystyle \frac {1}{\sqrt {1-v_o^2}}=ax_o+1$

　 $\displaystyle \gamma=ax_o+1$

となります。

次に、系Aから系A'への座標変換の式を作ります。

式１から、
　 $t’ = \gamma×(t - v_o×x)$

$\gamma$ と $v_o$ を代入し、

　 $\displaystyle t’= (ax_o+1)×\left(t - \frac{t_o}{ x_o+(1/a)}×x\right)$

　 $\displaystyle = (ax_o+1)×t - (ax_o+1)× \frac{t_o}{ x_o+(1/a)}×x$

　 $\displaystyle = (ax_o+1)×t - a(x_o+(1/a))× \frac{t_o}{ x_o+(1/a)}×x$

　 $\displaystyle = (ax_o+1)×t -at_o×x$ 　（式３）

です。

また、式２から、
　 $x’ = \gamma×(x - v_o×t)$

$\gamma$ と $v_o$ を代入し、

　 $\displaystyle x’ = (ax_o+1)×\left(x - \frac{t_o}{ x_o+(1/a)}×t\right)$

　 $\displaystyle = (ax_o+1)×x-(ax_o+1)×\frac{t_o}{ x_o+(1/a)}×t$

　 $\displaystyle = (ax_o+1)×x-at_o×t$ 　（式４）

です。（つづく）

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