加速度運動する物体の系との座標変換（３）

一昨日、昨日の記事につづいて、今回は、慣性系Aにいる観測者の座標を加速度運動する物体がいる慣性系A’の座標に変換してみます。

座標変換の式は、
　 $\displaystyle t'= (ax_o+1)×t -at_o×x$ 　（式１）
　 $\displaystyle x'= (ax_o+1)×x-at_o×t$ 　（式２）
でした。

系Aでの観測者の位置は $x=0$ で変わりません。

式１に $x=0$ を代入します。
　 $\displaystyle t'= (ax_o+1)×t -at_o×x$
　 $\displaystyle = (ax_o+1)×t -at_o×0$
　 $\displaystyle = (ax_o+1)×t$ 　（式３）
です。

式２に $x=0$ を代入します。
　 $\displaystyle x'= (ax_o+1)×x-at_o×t$
　 $\displaystyle x'= (ax_o+1)×0-at_o×t$
　 $\displaystyle x'= -at_o×t$ 　（式４）
です。

さて、系Aで物体が $(t_o,x_o)$ にあることを観測者が見るとします。

観測者が見るのは、物体からの光が観測者に届いたときです。

光速度を１とする単位系を使っていますので、物体からの光が観測者に届くのにかかる時間は、観測者と物体との距離と同じです。

観測者は位置 $x=0$ にいますから、物体からの距離は $x_0-0=x_o$ です。

観測者が $(t_o,x_o)$ にある物体を見る時刻 $t_s$ は、 $t_s=t_o+x_o$ になります。

これを系A'の座標で見るとどうなるでしょう。

物体の座標は、系A'では、
　 $\displaystyle t_o'=t_o$ 、 $\displaystyle x_o'=-x_o$
でした。

観測者の系Aでの座標は $(t_s,0)$ ですが、系A'での座標を $(t_s',x_s')$ とすると、式３，４から、
　 $\displaystyle t_s'= (ax_o+1)×t_s$ 、 $\displaystyle x_s'= -at_o×t_s$
です。

系A'での物体と観測者の座標の時間差は、
　 $\displaystyle t_s'-t_o'= (ax_o+1)×t_s-t_o$
です。

$t_s=t_o+x_o$ を使って $t_s$ 消去し、
　 $\displaystyle t_s'-t_o'= (ax_o+1)×(t_o+x_o)-t_o$
　 $\displaystyle =ax_ot_o+ax_o^2+t_o+x_o-t_o$
　 $\displaystyle =ax_ot_o+ax_o^2+x_o$
　 $\displaystyle =ax_o^2+x_o(at_o+1)$ 　（式５）
です。

一方、系A'での物体と観測者の距離は、
　 $\displaystyle x_o'-x_s'=-x_o+at_o×t_s$
です。（正確には、この絶対値です）

こちらも $t_s=t_o+x_o$ を使って $t_s$ 消去し、
　 $\displaystyle x_o'-x_s'=-x_o+at_o×(t_o+x_o)$
　 $\displaystyle =-x_o+at_o^2+at_ox_o$ 　（式６）
です。

$t_o^2$ を消去するため、物体の軌道の式を変形します。
　 $(x_o+(1/a))^2-t_o^2=(1/a)^2$

$-t_o^2$ 以外の項を右辺に移し、
　 $-t_o^2=(1/a)^2-(x_o+(1/a))^2$
　 $-t_o^2=(1/a)^2-(x_o^2+2(1/a)x_o+(1/a)^2)$
　 $-t_o^2=-x_o^2-2(1/a)x_o$

両辺に $-a$ を掛けて、
　 $at_o^2=ax_o^2+2x_o$
です。

これを式６に代入し、
　 $\displaystyle x_o'-x_s'=-x_o+at_o^2+at_ox_o$
　 $\displaystyle=-x_o+(ax_o^2+2x_o)+at_ox_o$
　 $\displaystyle =ax_o^2+x_o+at_ox_o$
　 $\displaystyle =ax_o^2+x_o(at_o+1)$ 　（式６'）
です。