柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

離れていく物体の時間をグラフで考える（３）

座標時間の遅れ加速度系

観測者から離れていく物体での時間がどう見えるか、グラフで考える３回目、昨日の記事のつづきですです。

等加速度で離れていく物体の軌道を $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$ としました。

観測者から見た物体での経過時間は $\displaystyle\frac{\sqrt{1+(a×t_s)^2}}{a×t_s+\sqrt{1+(a×t_s)^2}}$ 倍になることがわかりました。

　 $\displaystyle dt_s=\frac{\sqrt{1+(a×t_s)^2}}{a×t_s+\sqrt{1+(a×t_s)^2}}×dt_r$ 　（式１）

ただし、式１には特殊相対性理論による時間の伸びが考慮されていませんでした。

物体が光を放った時刻 $t=t_s$ のときの物体の速度 $v$ は、

　 $\displaystyle v = \frac{a×t_s}{\sqrt{1 + (a×t_s)^2}}$

です。（「深宇宙探査機を見送る（２）」を参照ください）

この速度を使って、特殊相対性理論による時間の伸び率は、（計算中、掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle d\tau=\sqrt{1-v^2}×dt$

　 $\displaystyle =\sqrt{1-\left( \frac{at_s}{\sqrt{1 + (at_s)^2}} \right)^2}×dt$

　 $\displaystyle =\sqrt{1-\frac{(at_s)^2}{1 + (at_s)^2} }×dt$

　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1+(at_s)^2 -(at_s)^2}{1 + (at_s)^2} }×dt$

　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1}{1 + (at_s)^2} }×dt$

　 $\displaystyle =\frac{1}{\sqrt{1 + (at_s)^2} }×dt$ 　（式２）

となります。

式２を式１に合わせて、特殊相対性理論による時間の伸びを加えます。

　 $\displaystyle d\tau=\frac{1}{\sqrt{1 + (at_s)^2} }\frac{\sqrt{1+(at_s)^2}}{at_s+\sqrt{1+(at_s)^2}}×dt_r$

　 $\displaystyle =\frac{1}{at_s+\sqrt{1+(at_s)^2}}×dt_r$

分子・分母に $\displaystyle at_s-\sqrt{1+(at_s)^2}$ を掛けます。

　 $\displaystyle d\tau=\frac{at_s-\sqrt{1+(at_s)^2}}{(at_s+\sqrt{1+(at_s)^2})(at_s-\sqrt{1+(at_s)^2})}×dt_r$

　 $\displaystyle =\frac{at_s-\sqrt{1+(at_s)^2}}{(at_s)^2-(1+(at_s)^2)}×dt_r$

　 $\displaystyle =\frac{at_s-\sqrt{1+(at_s)^2}}{-1}×dt_r$

　 $\displaystyle =\left(\sqrt{1+(at_s)^2}-at_s\right)×dt_r$ 　（式３）

特殊相対性理論による時間の伸びの効果を入れて、観測者から見た物体での経過時間は $\displaystyle\sqrt{1+(at_s)^2}-at_s$ 倍になることがわかりました。

さて、観測者から見たとき、物体の時刻がいつであるかは、なかなかわかりません。

観測者から見てわかりやすいのは、物体の位置ですね。

式３を実用的（？）にするため、式３を物体の位置を使った式にしてみましょう。（つづく）

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