柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

離れていく物体の時間をグラフで考える（４）

座標時間の遅れ加速度系

観測者から離れていく物体での時間がどう見えるか、グラフで考える４回目、昨日の記事のつづきですです。

等加速度で離れていく物体の軌道を $\displaystyle (x+(1/a))^2-t^2=(1/a)^2$ 、物体の速度を $\displaystyle v = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$ としています。

$x$ は観測者から見た物体の位置、 $t$ は観測者の時刻、 $a$ は物体自体の加速度、 $v$ は観測者から見た物体の速度です。

前回の記事で、観測者から見た物体での経過時間は $\displaystyle\sqrt{1+(a×t_s)^2}-a×t_s$ 倍になることがわかりました。（特殊相対性理論による時間の伸びの効果を加味しています）

　 $\displaystyle d\tau=\left(\sqrt{1+(a×t_s)^2}-a×t_s\right)×dt$ 　（式１）

式１を観測者から見た物体の位置で表してみます。

時刻 $t_s$ のときの物体の位置 $x_s$ は、

　 $\displaystyle (x_s+(1/a))^2-t_s^2=(1/a)^2$

両辺に $a^2$ を掛けて、

　 $\displaystyle (a×x_s+1)^2-(a×t_s)^2=1$

$t_s$ の項を右辺に移して、

　 $\displaystyle (a×x_s+1)^2=1+(a×t_s)^2$

です。

これを式１に当てはめます。

　 $\displaystyle d\tau=\left(\sqrt{1+(a×t_s)^2}-a×t_s\right)×dt$

　 $\displaystyle =\left(\sqrt{(a×x_s+1)^2}-\sqrt{(a×x_s+1)^2-1}\right)×dt$

　 $\displaystyle =\left( (a×x_s+1)-\sqrt{(a×x_s+1)^2-1}\right)×dt$

です。

$x_s$ が大きくなる（物体が遠くなる）につれ、観測者から見た物体の時間 $d\tau$ はどんどん伸び、ほとんど進まなくなっていきます。

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