柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

動いている物体を異なる慣性系から見る：Ｘ軸編（１）

慣性系ローレンツ変換速度の合成

動いている物体を異なる慣性系から見たとき、一方の系から見た物体の位置と速度が、もう一方の系から見るとどう変換されるか、何回かに分けて考えてみます。

１回目は、速度の合成の復習になります。

まず、ローレンツ変換の式はすでに分かっているとします。

　 $x’ = \gamma×(x - v×t)$
　 $t’ = \gamma×(t - v×x)$
（ここで、 $\displaystyle \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt {1-v^2}}$ ）

物体は動いているので、その位置を時刻の関数で表します。

慣性系Aから見た系Aの時刻 $t$ での物体の位置は、
　 $x=x(t)$
慣性系A’から見た系A’の時刻 $t’$ での物体の位置は、
　 $x’=x’(t’)$
です。

ローレンツ変換の式により、
　 $x’(t’) = \gamma×(x(t) - v×t)$ 　（式１）
　 $t’ = \gamma×(t - v×x(t))$ 　（式２）
となります。

系A’から見た物体の位置 $x’(t’)$ の形がわかっているとして、それをもとに $x(t)$ の形を求めます。

式１を変形して、
　 $x’(t’) = \gamma×(x(t) - v×t)$
　 $\gamma×x(t)=x’(t’) + \gamma×v×t$
　 $x(t)=(1/\gamma)×x’(t’) + v×t$

これに式２を代入して、
　 $x(t)=(1/\gamma)×x’(t’) + v×t$
　 $x(t)=(1/\gamma)×x’(\gamma×(t - v×x(t))) + v×t$ 　（式３）
となり、 $x(t)$ は $t$ の関数になります。

簡単な場合として、系A'から見て物体が等速度 $u$ で動いている場合を考えます。
　 $x’(t’)=u×t’$
です。

これを式３に代入します。
　 $x(t)=(1/\gamma)×x’(\gamma×(t - v×x(t))) + v×t$
　 $x(t)=(1/\gamma)×u×\gamma×(t - v×x(t))+ v×t$

$\gamma$ を相殺します。
　 $x(t)=u×(t - v×x(t))+ v×t$
　 $x(t)=u×t - u×v×x(t)+ v×t$

$x(t)$ がかかる項を左辺に集めます。
　 $x(t)+u×v×x(t)=u×t + v×t)$
　 $x(t)×(1+u×v)=(u+ v)×t$

　 $\displaystyle x(t)=\frac{u+ v}{1+u×v}×t$ 　（式４）

となります。

系Aから見た物体の位置 $x(t)$ も $定数×t$ の形になりました。

その定数は、系Aから見た物体の速度です。

ということは、系Aから見ても物体は等速度で動いています。

その速度を $w$ とすると、式４から、

　 $\displaystyle w = \frac{u+ v}{1+u×v}$

となります。

これは速度の合成の式ですね。（つづく）

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