ローレンツ変換の式の導入 - 柵（しがらみ）なき重力論

ローレンツ変換の式は、光速度不変と斜交座標を使って図的に導入したり、一次式の変換であることを前提にその係数を求めるというやり方で導入したりすることがあります。

ここでは、ミンコフスキー空間の性質を使って、ローレンツ変換の式を導入してみます。

ローレンツ変換の式とは、ある系Aの座標 $(t, x, y, z)$ から別の系A’の座標 $(t', x’, y’, z')$ への変換式です。

次の条件があります。
・系Aと系A’は、空間の直行する３軸（ $x$ 軸、 $y$ 軸、 $z$ 軸）の方向が一致
・原点 $(0, 0, 0, 0)$ が一致
・系A’は、系Aから見て、 $x$ 軸方向へ等速度 $v$ で動いている

まず、空間座標の変換です。

ガリレイ変換では、空間座標の変換は、
　 $x’ = x - v×t$ 、 $y’ = y$ 、 $z’ = z$
です。

これらに、「動いている系での長さは縮んで見える」というミンコフスキー空間の性質を適用します。

系A’は、系Aから見て、 $x$ 軸方向へ等速度 $v$ で動いているので、 $x$ 軸の座標変換は
　 $x’ = \gamma×(x - v×t)$ 　（ここで、 $\displaystyle \gamma \equiv \frac {1}{\sqrt {1-v^2}}$ ）
となります。

ここで、
疑問： $x$ や $x’$ は座標、つまり位置だったのに、長さとして使っていいの？
答え： $x$ や $x’$ の位置は原点 $0$ から $x$ や $x’$ の距離にあるので、 $x$ や $x’$ の値を長さとして使います。
疑問：動いている系A’の長さは縮んで見えるはずなのに、 $\gamma$ 倍すると大きくなるのでは？
答え：動いている系A’の $x$ 軸の物差しが縮んでいるので、その分大きな値（ $\gamma$ 倍した値）の座標が系Aの座標と対応するのです。
疑問：光速度 $c$ は出てこないの？
答え：空間的距離と時間的距離を同じ単位で測っているので、変換係数 $c$ は出てきません。（あえて言うと $v = 1$ が光速度です。）

次に、 $y$ 軸と $z$ 軸の座標変換ですが、 $y$ 軸方向と $z$ 軸方向への系A’の速度は $０$ なので、長さの縮みはなく、ガリレイ変換のまま、
　 $y’ = y$ 、 $z’ = z$
となります。

つづいて、時間座標の変換です。

ガリレイ変換では、
　 $t’ = t$
です。

これに、ミンコフスキー空間での「動いている系での時間は伸びて見える」ということをそのまま適用すればよいかというと、そう簡単にはいかないのです。

なぜなら、ガリレイ変換では、時間軸は絶対時間であり、空間軸のように系の速度によって座標が変わるという考えが入っていないからです。

このため、ミンコフスキー空間での「世界距離の２乗はどの系でも同じ」を適用して少し計算します。

世界距離の２乗はどの系でも同じなので、
　 $t’^2 - x’^2 = t^2 - x^2$
です。

ここで、 $x$ 軸と同じく、 $t$ や $t’$ の位置は、原点 $0$ から $t$ や $t’$ の距離にあるので、 $t$ や $t’$ の値を時間的距離として使っています。

ここから少し計算式が続きます。（このあと、掛け算の記号 $×$ は省略します）

上の式を $t’^2$ に関する式に直して、
　 $t’^2 = t^2 - x^2 + x’^2$

右辺の $x’$ を $x$ であらわして、
　 $t’^2 = t^2 - x^2 + (\gamma(x - vt))^2$

右辺の $()$ 内の２乗を展開して、
　 $t’^2 = t^2 - x^2 + \gamma^2x^2 - \gamma^22xvt + \gamma^2v^2t^2$

右辺を $t^2$ 、 $x^2$ でまとめて、
　 $t’^2 = t^2(1 + \gamma^2v^2) - x^2(1 - \gamma^2) - \gamma^22xvt$ です。

ここで、 $t^2$ にかかっている $(1 + \gamma^2v^2)$ の $\gamma$ を展開します。
　 $1 + \gamma^2v^2$
　 $= 1 + v^2/(1 - v^2)$
　 $= (1 - v^2 + v^2) / (1 - v^2)$
　 $= 1 / (1 - v^2)$
　 $= \gamma^2$

また、 $x^2$ にかかっている $(1 - \gamma^2)$ の $\gamma$ を展開します。
　 $1 - \gamma^2$
　 $= 1 - 1 / (1 - v^2)$
　 $= (1 - v^2 - 1) / (1 - v^2)$
　 $= -v^2 / (1 - v^2)$
　 $= -v^2\gamma^2$