向かってくる・遠ざかっていく物体の時間の伸び縮み

向かってくる物体の見かけの速度 $v_i$ は、実際の速度を $v$ とすると、
　 $\displaystyle v_i=\frac{v}{1-v}$
に見えます。

遠ざかっていく物体では、
　 $\displaystyle v_i=\frac{v}{1+v}$
となります。

この、向かってくる・遠ざかっていく物体の時間の伸び縮みをみてみましょう。

１００光年先の天体から、乗員（２０歳）をのせたロケットが光速度の８０％で地球に向かいます。

ロケットが天体を出発するとき、「ロケットが天体を出発。乗員の年齢は２０歳」という情報を地球に送るとします。

その情報が地球に届くのは、ロケットが出発してから１００年後のことですが、そのときには、ロケットはもう８０光年分進んでいて、地球まであと２０光年の位置に来ています。

ロケットは、天体を出発してから１２５年後（＝１００÷０.８）に地球に到着しますが、それは、ロケットが天体を出発したことを地球にいるわれわれが知ってから２５年後（＝１２５ - １００）のことです。

一方、ロケットから見ると、１００光年の距離は３６光年 $(\sqrt{1-0.8^2}=0.36)$ に縮んでいます。

この距離を光速度の８０％で進みますので、地球には４５年（３６÷０.８）で到着します。

地球に到着したロケットの乗員の年齢は６５歳（２０＋４５）になっています。

地球から見て、ロケットが天体を出発したこと知ってから２５年後にロケットが到着しましたが、その間にロケット中では４５年経っていたのです。

ロケット内の時間が１.８（４５／２５）倍に縮んでいる（１.８倍速く進む）ように見えます。

式にすると、時間の縮みは、
　 $\displaystyle \frac{\sqrt{1-v^2}}{1-v}$
となります。

逆に、遠ざかっていくロケット内の時間は、
　 $\displaystyle \frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v}$
倍に伸びて見えます。

これらの伸び縮みは、向かってくる・遠ざかっていく光源のドップラー効果と同じです。

さて、地球から見た見かけのロケットけの速度は、地球にいるわれわれにとって本当の速度なのでしょうか？

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柵（しがらみ）なき重力論