柵(しがらみ)なき重力論

自由に重力論を展開します。

2階建てロケットに乗る(5)

等加速度 a で宇宙を旅する2階建てロケット
1階と2階との時間の流れが違いを計算する準備ができています。

2階から見たときの1階の時間の伸びは、
 \sqrt{1 + (a×t)^2} + a×t
でした。(注意:居残りA視点から見た、時間の伸びです)

2階で経った時間 dt_2 と1階で経った時間 dt_1 の関係は、
 dt_2 = (\sqrt{1 + (a×t)^2} + a×t) ×dt_1
となります。

また、1階から2階へ光信号が届くのにかかる時間 t は、ほぼ、1階・2階の差 h になります。(光速度が1となる単位系ですので距離 h を光が進むのにかかる時間は h/1 = h)

 dt_2 = (\sqrt{1 + (a×t)^2} + a×t) ×dt_1
 dt_2 \approx (\sqrt{1 + (a×h)^2} + a×h) ×dt_1

具体的な数値を入れてみましょう。

光速度が1となる単位系での加速度 a、時間 t と、われわれが日常使う単位系での加速度 a′t’ とは、光速度cとすると、
 a=a'/c^2t = t’×c
の関係にあります。

 dt_2 = (\sqrt{1 + (a×h)^2} + a×h) ×dt_1
 dt_2’×c = (\sqrt{1 + ( (a’/c^2)×h)^2} + (a’/c^2)×h) ×dt_1’×c
 dt_2’ = (\sqrt{1 + ( (a’/c^2)×h)^2} + (a’/c^2)×h) ×dt_1’

加速度 a’ を地上の重力加速度(約9.8メートル/秒^2)程度とします。
光速度 c は、約 3×10^8メートル/秒です。
1階・2階の差を 100メートル とします。

(a’/c^2)×h は、
 (a’/c^2)×h
 =(9.8/(3×10^8)^2)×100
 =(9.8/(9×10^{16})×100)
 =1.09×10^{-14}
です。

 dt_2’ = (\sqrt{1 + ( (a’/c^2)×h)^2} + (a’/c^2)×h) ×dt_1’
 dt_2’ = (\sqrt{1 + (1.09×10^{-14})^2} + 1.09×10^{-14} ×dt_1’
 dt_2’ = (\sqrt{1 + 1.19×10^{-28}} + 1.09×10^{-14}) ×dt_1’
 dt_2’ \approx (1 + 1.09×10^{-14}) ×dt_1’
となります。

dt_1’1 秒なら、dt_2’ は、1+1.09×10^{-14} 秒。
つまり、1階・2階の差が100メートルなら、1階の1秒に対して、2階の時間は 1.09×10^{-14}(約10兆分の1)秒だけ進んでいるように見えるということです。

10兆分の1って、どれぐらいの長さですか。
1秒に対しての10兆分の1秒は、300万年での1秒です。
僅かな時間ですが、十分な精度で計測することができます。

1階・2階の距離がこのスケールなら、時間の差はほぼその距離に比例します。
たとえばスカイツリーの高さ(634メートル)なら約10兆分の6秒、富士山の高さ(3,776メートル)約10兆分の38秒になります。

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