柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

２階建てロケットに乗る（３）

加速度系ドップラー効果時空間時間の遅れ

等加速度 $a$ で宇宙を旅する２階建てロケット。
１階と２階とで時間の流れが違うという噂の真偽を確かめています。

前２回の記事では、１階にいる乗務員Ａが出した光信号が２階の乗務員Ｂに届くときの、Ｂの座標 $(x_e,t_e)$ を求めました。

乗務員Ａ、Ｂは等加速度で運動していますが、これは、次々と慣性系を乗り継いでいることになります。

Ａが光信号を出した瞬間にいた慣性系。この慣性系に「居残りＡ」が残っていると想定して、その居残りＡの視点で考えています。（座標 $(x_e,t_e)$ も居残りＡから見た座標です）

さて、このブログの読者から、１階と２階との時間の流れのちがいは、ローレンツ変換による時間の伸びと、光源が離れていくときのドップラー効果の合わせ技ではないか、との情報がありました。

居残りＡから見たロケットの速度は、

　 $\displaystyle v(t) = \frac{a×t}{\sqrt{1 + (a×t)^2}}$ 　（式１）

です。

また、光源が速度 $v$ 離れていくとき、ドップラー効果（ローレンツ変換による時間の伸びをあわせたもの）により、光源の時間は、

　 $\displaystyle \frac{1 + v}{\sqrt{1 - v^2}}$ 　（式２）

倍に伸びて見えます。

式１と式２から、２階の乗務員Ｂから見た１階の乗務員Ａの時間の伸び率を計算してみましょう。

なお、Ａが出した光信号がＢに届くまでには時間差がありますから、Ｂはその時間だけ過去のＡ、つまり居残りＡを見ることになります。

まず、式２を変形します。

　 $\displaystyle \frac{1 + v}{\sqrt{1 - v^2}}$

　 $\displaystyle = \frac{1 + v}{\sqrt{(1 - v)×(1+v)}}$

　 $\displaystyle = \frac{\sqrt{1 + v}}{\sqrt{1 - v}}$

　 $\displaystyle = \sqrt{\frac{1 + v}{1 - v}}$

$1+v$ に式１を代入してを計算しておきます。（掛け算の記号は省略します）

　 $\displaystyle 1+v = 1+\frac{at}{\sqrt{1 + (at)^2}}$

　 $\displaystyle \frac{\sqrt{1 + (at)^2} + at}{\sqrt{1 + (at)^2}}$

$1-v$ も同じように、

　 $\displaystyle 1-v = \frac{\sqrt{1 + (at)^2} - at}{\sqrt{1 + (at)^2}}$

です。

$\displaystyle \frac{1 + v}{1 - v}$ は、

　 $\displaystyle \frac{1 + v}{1 - v} = (1+v)÷(1-v)$

　 $\displaystyle = \frac{\sqrt{1 + (at)^2} + at}{\sqrt{1 + (at)^2}}÷\frac{\sqrt{1 + (at)^2} - at}{\sqrt{1 + (at)^2}}$

　 $\displaystyle = \frac{\sqrt{1 + (at)^2} + at}{\sqrt{1 + (at)^2} - at}$

分子・分母に $\sqrt{1 + (at)^2} +at$ を掛けます。

　 $\displaystyle = \frac{(\sqrt{1 + (at)^2}+at)^2}{(\sqrt{1 + (at)^2} - at)(\sqrt{1 +(at)^2} + at)}$

　 $\displaystyle = \frac{(\sqrt{1 + (at)^2}+at)^2}{(\sqrt{1 + (at)^2})^2 - (at)^2}$

　 $\displaystyle = \frac{(\sqrt{1 + (at)^2} +at)^2}{1 + (at)^2 - (at)^2}$

　 $\displaystyle = \frac{(\sqrt{1 + (at)^2} +at)^2}{1}$

　 $\displaystyle = (\sqrt{1 + (at)^2} + at)^2$

ですので、

　 $\displaystyle \frac{1 + v}{1 - v} = (\sqrt{1 + (at)^2} + at)^2$

です。

まとめると、光源の時間の伸びは、

　 $\displaystyle \frac{1 + v}{\sqrt{1 - v^2}}$

　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{1 + v}{1 - v}}$

　 $\displaystyle =\sqrt{ (\sqrt{1 + (a×t)^2} + a×t)^2}$

　 $\displaystyle =\sqrt{1 + (a×t)^2} + a×t$

となりました。

f:id:Dr9000:20200529135742j:plain