深宇宙探査機に指令が届くのはいつ

地上の重力加速度と同じ加速度 で、地球から遠ざかる深宇宙探査機。
以前の記事で書きましたが、出発から１年後に地球から出された指令は、深宇宙探査機には届きません。

地球から見た深宇宙探査機の軌道は双曲線ですが、出発から１年後に地球から深宇宙探査機に向かって出された指令（電波、電磁波、光）は、その双曲線の漸近線になります。

双曲線と漸近線は、限りなく近づきますが、けっして交わりません。
指令は深宇宙探査機に届かないのです。

でも、出発から１年以内であれば、地球から出された指令は、深宇宙探査機に届くはず。
例えば、深宇宙探査機の出発から時間 だけあとに地球から出された指令は、地球から見た時刻で、いつ、深宇宙探査機に届くのでしょうか。

地球から見た深宇宙探査機の軌道は、地球からの距離を 、出発してからの時間を とすると、
　　（式１）
です。

時刻 に地球から深宇宙探査機に向かって出された指令の軌跡は、
　　（式２）
です。

このふたつの軌跡の交点を求めれば、指令が深宇宙探査機に届く時刻と、そのときの深宇宙探査機の位置がわかります。

深宇宙探査機の位置を求めるほうが、計算が少しだけ楽なので、そうします。
式２を変形して、
　　（式３）
とします。

これを、式１に代入し、軌跡の交点の座標 を求めます。
　

　

２乗を展開します。（掛け算の記号 を省略します）
　

　

両辺から を引きます。
　

を差し引きします。
　

がかかる項を左辺、それ以外を右辺にまとめます。
　
　

を求めます。

　

分子・分母に を掛け、見やすくします。

　　（式４）

この結果を式３に代入し、 を求めます。
　

　　（式５）

指令が出されてから 後に、深宇宙探査機に指令が届くことがわかりました。

がゼロのときには、この時間間隔もゼロ。
が大きくなるにつれ、この間隔は大きくなり、 で無限大（追いつけない）になります。