柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

非相対論でのシュワルツシルト半径

加速度系逆２乗ブラックホール

「加速度が変化する場合（６）」の記事で、加速度が原点からの距離の２乗に反比例する場合の物体の位置、速度について求めました。

物体の位置と時刻を媒介変数 $\theta$ を用いて、位置と時刻は、

　 $\displaystyle x(\theta)=x_0×\cosh^2 \theta$ 　（式１）

　 $\displaystyle t(\theta)=\sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)$ 　（式２）

速度は、

　 $\displaystyle v(\theta) =\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\tanh\theta$ 　（式３）

でした。（ $\pm$ は省略しました）

式３を見ると、速度には $\displaystyle\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}$ という上限があります。（ $\theta \to \infty$ で $\tanh\theta \to 1$ ですので）

加速度は距離の２乗に反比例しますのでどんどん小さくなります。
そして、速度は増えなくなり一定の値に近づくということです。

この「加速度が変化する場合（６）」の記事は、非相対論的に考えていました。

相対論的な考えであれば、速度はどんなに増えても、光速度を超えることができず、光速度に近づいていきます。

加速度が距離の２乗に反比例する場合には、非相対論でありながら、一定の値に近づいていくのですね。

このため、非相対論でもシュワルツシルト半径のようなことが考えられます。

式３の速度の上限値が光速度であるとすると、

　 $\displaystyle \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}=c$ 　（ $c$ は光速度）

です。

これから、

　 $\displaystyle \frac{2×b}{x_0}=c^2$

　 $\displaystyle \frac{2×b}{c^2}=x_0$

となりますが、

$b$ を重力定数×天体の質量、 $x_0$ を天体の半径とすると、シュワルツシルト半径と等しくなります。

なお、非相対論で考えたシュワルツシルト半径と、相対性理論で考えるシュワルツシルト半径とが、式の形だけでなく係数までもが一致するのは、たまたま偶然とされています。

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