加速度が変化する場合（６） - 柵（しがらみ）なき重力論

昨日の記事では、以下を想定した場合、

・時刻 $t=0$ のときの物体の位置は $x_0=x(0)\gt 0$
・時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=v(0)=0$
・加速度は原点からの距離の２乗に反比例： $\displaystyle a(t)=\frac{b}{x^2}$ 　（ $b$ は比例定数）

物体の位置と時刻を媒介変数 $\theta$ を用いて、

　 $\displaystyle x(\theta)=x_0×\cosh^2 \theta$ 　（式２x）

　 $\displaystyle t(\theta)=\pm \sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)$ 　（式２t）

と表す解が見つかりました。

今回は、本当に解になっているか、検証してみたいと思います。

まず、時刻 $t$ と媒介変数 $\theta$ の関係：

式２tから、 $\theta=0$ のとき $t=0$ 。

$\theta\geqq 0$ の領域で単調増加ですので、式２tで時刻を表すのは問題なさそうです。

物体の位置：

式２xから $\theta=0$ のとき（つまり $t=0$ のとき） $x=x_0$ です。

その後、 $\theta$ の増加（つまり $t$ の増加）で増加します。

物体の速度：

式２xを $\theta$ で微分して、

　 $\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(x_0×\cosh^2 \theta)$

　　 $\displaystyle =x_0×(\sinh\theta×\cosh\theta+\cosh\theta×\sinh\theta)$

　　 $\displaystyle =2×x_0×\sinh\theta×\cosh\theta$ 　（式３）

式２tを $\theta$ で微分して、

　 $\displaystyle\frac{dt}{d\theta}= \frac{d}{d\theta}\left(\pm \sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)\right)$

　　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×(\cosh^2\theta+\sinh^2\theta+1)$

　　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×(\cosh^2\theta+\cosh^2\theta-1+1)$

　　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×2×\cosh^2\theta$

　　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{2×x_0^3}{b}}×\cosh^2\theta$ 　（式４）

です。

物体の速度 $\displaystyle v=\frac{d}{dt}x$ は、

　 $\displaystyle v=\frac{d}{dt}x=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}x$

式３、式４（の逆数）を使って

　 $\displaystyle v=\pm \sqrt{\frac{b}{2×x_0^3}}×\frac{1}{\cosh^2\theta}×2×x_0×\sinh\theta×\cosh\theta$

　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\frac{\sinh\theta×\cosh\theta}{\cosh^2\theta}$

　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}$ 　（式５）

です。

ので $\theta=0$ のとき（つまり $t=0$ のとき） $v=0$ です。

その後、 $\theta$ の増加（つまり $t$ の増加）で増加します。

物体の加速度：

物体の加速度 $\displaystyle a=\frac{dx}{dt}$ は、

　 $\displaystyle a=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}(\frac{d}{dt}x)$

　 $\displaystyle =\frac{d}{dt}v=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}v$

です。

式５を使って、

　 $\displaystyle a=\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}\left(\pm \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}\right)$

　　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\frac{d\theta}{dt}\frac{d}{d\theta}\frac{\sinh\theta}{\cosh\theta}$

　　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\frac{d\theta}{dt}\frac{\cosh^2\theta - \sinh^2\theta}{\cosh^2\theta}$

　　 $\displaystyle =\pm \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\frac{d\theta}{dt}\frac{1}{\cosh^2\theta}$

式４（の逆数）を使って、

　 $\displaystyle a=\pm \sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\left(\pm \sqrt{\frac{b}{2×x_0^3}}×\frac{1}{\cosh^2\theta}\right)×\frac{1}{\cosh^2\theta}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\sqrt{\frac{b}{2×x_0^3}}×\frac{1}{\cosh^4\theta}$

　　 $\displaystyle =\sqrt{\frac{b^2}{x_0^4}}×\frac{1}{\cosh^4\theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{b}{x_0^2}×\frac{1}{\cosh^4\theta}$

　　 $\displaystyle =\frac{b}{x_0^2×\cosh^4\theta}$ 　（式６）

です。

式２xで
　 $\displaystyle x=x_0×\cosh^2 \theta$
でしたので、式６と合わせて、

　 $\displaystyle a=\frac{b}{x_0^2×\cosh^4\theta}=\frac{b}{x^2}$

です。

すべての条件が満たされていることがわかりました。

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