柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度が変化する場合（５）

加速度系 微分方程式 逆２乗

昨日の記事のつづきです。

以下を想定し、

・時刻 t=0 のときの物体の位置は x_0=x(0)\gt 0
・時刻 t=0 のときの物体の速度は v_0=v(0)=0
・加速度は原点からの距離の２乗に反比例：\displaystyle a(t)=\frac{b}{x^2(t)}　（b は比例定数）

微分方程式

　\displaystyle a(t)=\frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{b}{x^2(t)}　（式１）

を立て、関数 x(t) の形を

　\displaystyle x(t)=m×(t+l)^n

と想定して解いてみましたが、うまく解けませんでした。

 

式１が簡単に解けない理由は、三つあります。

①二階微分方程式であること
②加速度が時刻の関数ではなく位置の関数であること（位置が時刻の関数ですので、結局は時刻の関数ですが）
③解法がよくないこと

方程式を立て直してこれらを解消し、解を求めてみたいと思います。

まず、式１が二階微分になっているのは、加速度と位置との関係式だからですね。
加速度と速度との関係式を立てることができれば、一階微分になります。

加速度は速度 v の時間あたりの変化 \displaystyle \frac{dv}{dt} である、と考えて式１を書き直すと、

　\displaystyle \frac{b}{x^2}=\frac{dv}{dt}

です。

一方、速度は物体の位置によっても変わりますので、加速度は距離当たりの変化とも考えられます。

時間あたりの変化 \displaystyle \frac{dv}{dt} と距離当たりの変化 \displaystyle \frac{dv}{dx} との関係は、

　\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}

ですが、 \displaystyle \frac{dx}{dt}=v ですので、 

　\displaystyle \frac{dv}{dt}=v×\frac{dv}{dx}

と考えることができます。

これで式１を書き直すと、 

　\displaystyle \frac{b}{x^2}=\frac{dv}{dt}=\frac{dx}{dt}\frac{dv}{dx}=v×\frac{dv}{dx}

です。

これを変数分離で積分します。

積分の範囲は、時刻 t がゼロからとすると、初期条件から、位置は x(0)=x_0 から、速度は v(0)=0 からとなります。

積分は、

　\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{b}{x^2}\ dx =\int_0^v v\ dv　（式２）

です。 

この式２を解いてみましょう。

式２の右辺は、

　\displaystyle \int_0^v v\ dv=\left[ \frac{1}{2}×v^2 \right]_0^v

　\displaystyle = \frac{1}{2}×v^2-\frac{1}{2}×0^2

　\displaystyle = \frac{1}{2}×v^2　（式２右辺）

です。

式２の左辺は、

　\displaystyle \int_{x_0}^x \frac{b}{x^2} dx =\left[-\frac{1}{x}\right]_{x_0}^x

　\displaystyle =\left(-\frac{b}{x}\right)-\left(-\frac{b}{x_0}\right)

　\displaystyle =\frac{b}{x_0}-\frac{b}{x}

　\displaystyle =\frac{b}{x_0}×\left(1-\frac{x_0}{x}\right)

　\displaystyle =\frac{b}{x_0}×\frac{x-x_0}{x}　（式２左辺）

です。

式２の左辺、右辺を合わせて、

　\displaystyle \frac{b}{x_0}×\frac{x-x_0}{x}=\frac{1}{2}×v^2

です。

\displaystyle \frac{dx}{dt}=v を書き戻して、

　\displaystyle \frac{b}{x_0}×\frac{x-x_0}{x}=\frac{1}{2}×\left(\frac{dx}{dt}\right)^2　

　\displaystyle \frac{2×b}{x_0}×\frac{x-x_0}{x}=\left(\frac{dx}{dt}\right)^2

両辺の平方根をとり、

　\displaystyle \pm\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\sqrt{\frac{x-x_0}{x}}=\frac{dx}{dt}

です。

これを再び変数分離で積分します。

　\displaystyle \pm\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\int dt=\int\sqrt{\frac{x}{x-x_0}}dx　（式３）

式３の左辺は、

　\displaystyle \pm\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×\int dt=\pm\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×t　（式３左辺）

です。

式３の右辺は、ちょっと複雑なので、

　\displaystyle x=x_0×\cosh^2 \theta

と置きましよう。

これは、置換積分というよりは、これ以降、x と t を媒介変数 \theta で表すこととします。
これで式１が簡単に解けなかった理由③を解消します。

式３の右辺は、

　\displaystyle \int\sqrt{\frac{x}{x-x_0}}dx

　　\displaystyle =\int\sqrt{\frac{x_0×\cosh^2 \theta}{x_0×\cosh^2 \theta-x_0}}\frac{dx}{d\theta}\ d\theta

　　\displaystyle =\int\sqrt{\frac{\cosh^2 \theta}{\cosh^2 \theta-1}}\frac{dx}{d\theta}\ d\theta

　　\displaystyle =\int\sqrt{\frac{\cosh^2 \theta}{\sinh^2 \theta}}\frac{dx}{d\theta}\ d\theta

　　\displaystyle =\int\frac{\cosh \theta}{\sinh\theta}\frac{dx}{d\theta}\ d\theta

となります。

ここで \displaystyle \frac{dx}{d\theta} は、

　\displaystyle \frac{dx}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}(x_0×\cosh^2\theta)

　　\displaystyle =2×x_0×\cosh\theta×\sinh \theta

ですので、

　\displaystyle \int\frac{\cosh \theta}{\sinh \theta}\frac{dx}{d\theta}\ d\theta

　　\displaystyle =\int\frac{\cosh \theta}{\sinh \theta}× 2×x_0×\cosh\theta×\sinh \theta\ d\theta

　　\displaystyle =2×x_0×\int\frac{\cosh \theta}{\sinh \theta}×\cosh\theta×\sinh \theta\ d\theta

　　\displaystyle =2×x_0×\int\cosh^2 \theta\ d\theta

　　\displaystyle =2×x_0×((1/2)×\sinh\theta×\cosh\theta+(1/2)×\theta)

　　\displaystyle =x_0×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)　（式３右辺）

となります。

式３の左辺と右辺を合わせて、

　\displaystyle \pm\sqrt{\frac{2×b}{x_0}}×t=x_0×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)

　\displaystyle t=\pm \sqrt{\frac{x_0}{2×b}}×x_0×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)

　\displaystyle t=\pm \sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)

です。

まとめると、媒介変数 \theta で、物体の位置と時刻が表せました。

　\displaystyle x(\theta)=x_0×\cosh^2 \theta

　\displaystyle t(\theta)=\pm \sqrt{\frac{x_0^3}{2×b}}×(\sinh\theta×\cosh\theta+\theta)

さて、本当に元の方程式の解になっていますか。（つづく）

f:id:Dr9000:20200908181613j:plain