柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速度が変化する場合（４）

加速度系微分方程式逆２乗

昨日の記事のつづきです。

以下を想定し、

・時刻 $t=0$ のときの物体の位置は $x_0=x(0)\gt 0$
・時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=v(0)=0$
・加速度は原点からの距離の２乗に反比例： $\displaystyle a(t)=\frac{b}{x^2(t)}$ 　（ $b$ は比例定数）

微分方程式

　 $\displaystyle a(t)=\frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{b}{x^2(t)}$ 　（式１）

を立てて解きました。

初期条件のうち、「時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=0$ 」は諦め、関数 $x(t)$ の形を、

　 $\displaystyle x(t)=m×(t+l)^n$

の形と想定して、式１を解きました。

その結果…、

　 $\displaystyle x(t)=\left(-\frac{9}{2}×b\right)^{1/3}×(t+l)^{2/3}$ 　（式２）

となりました。

パラメータ $l$ の値は、 $x_0=x(0)$ から、

　 $\displaystyle x_0=\left(-\frac{9}{2}×b\right)^{1/3}×l^{2/3}$

　 $\displaystyle x_0×\left(-\frac{9}{2}×b\right)^{-1/3}=l^{2/3}$

　 $\displaystyle x_0×\left(-\frac{9}{2}×b\right)^{-1}=l^2$

　 $\displaystyle x_0×\left(-\frac{2}{9}×\frac{1}{b}\right)=l^2$

となり、 $b\lt 0$ でなければならないことになってしまいました。
加速度がマイナス方向になってしまったということです。

んー、まあこれを受け入れて、 $b'=-b$ として、式１、式２を書き換えます。

　 $\displaystyle a(t)=\frac{d^2}{dt^2}x(t)=-\frac{b'}{x^2(t)}$ 　（式１'）

　 $\displaystyle x(t)=\left(\frac{9}{2}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{2/3}$ 　（式２'）

パラメータ $l$ の値は、

　 $\displaystyle x_0×\frac{2}{9}×\frac{1}{b'}=l^2$

　 $\displaystyle \pm\sqrt{x_0×\frac{2}{9}×\frac{1}{b'}}=l$

　 $\displaystyle \pm\sqrt{\frac{2}{9}×\frac{x_0}{b'}}=l$

です。

式２'を微分して、速度、加速度を求めると、

　 $\displaystyle v(t)=\frac{d}{dt}\left(\left(\frac{9}{2}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{2/3}\right)$

　　 $\displaystyle =\frac{2}{3}×\left(\frac{9}{2}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-1/3}$

　　 $\displaystyle =\left(\frac{2^3}{3^3}×\frac{9}{2}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-1/3}$

　　 $\displaystyle =\left(\frac{2^2}{3}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-1/3}$ 　（式３）

　 $\displaystyle a(t)=\frac{d}{dt}\left( \left(\frac{4}{3}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-1/3} \right)$

　　 $\displaystyle = -\frac{1}{3}×\left(\frac{4}{3}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-4/3}$

　　 $\displaystyle = -\left(\frac{1}{3^3}×\frac{4}{3}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-4/3}$

　　 $\displaystyle = -\left(\frac{4}{81}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-4/3}$ 　（式４）

となります。

式２'から、位置はプラス方向、時刻とともに増加します。
式３から、速度はプラス方向、時刻とともに減少します。
式４から、加速度はマイナス方向、時刻とともに減少します。

加速度の方向が、もとの想定とは違いますね。
速度も、加速度がプラス方向なら増加するはずです。

ちなみに、式２'を式１'に適用すると、

　 $\displaystyle a(t)=-\frac{b'}{x^2(t)}$

　　 $\displaystyle =-b'×x^{-2}$

　　 $\displaystyle =-b'×\left( \left(\frac{9}{2}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{2/3}\right)^{-2}$

　　 $\displaystyle =-b'×\left(\frac{9}{2}×b'\right)^{-2/3}×(t+l)^{-4/3}$

　　 $\displaystyle =-\left(\frac{9}{2}×b'^{-3/2}×b'\right)^{-2/3}×(t+l)^{-4/3}$

　　 $\displaystyle =-\left(\frac{9}{2}×b'^{-1/2}\right)^{-2/3}×(t+l)^{-4/3}$

　　 $\displaystyle =-\left(\frac{2}{9}×b'^{1/2}\right)^{2/3}×(t+l)^{-4/3}$

　　 $\displaystyle =-\left(\frac{4}{81}×b'\right)^{1/3}×(t+l)^{-4/3}$

となり、式４と一致するのですが…。（つづく）

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