加速度が変化する場合（３） - 柵（しがらみ）なき重力論

昨日の記事のつづきです。

加速度が変化する場合について調べています。
以下を想定としています。

・時刻 $t=0$ のときの物体の位置は $x_0=x(0)\gt 0$
・時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=v(0)=0$
・加速度は原点からの距離の２乗に反比例： $\displaystyle a(t)=\frac{b}{x^2(t)}$ 　（ $b$ は比例定数）

この想定から、微分方程式

　 $\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{b}{x^2(t)}$ 　（式１）

を立てました。

今回はこの方程式を解いてみます。
が、文末に示すように、今回の解は、初期条件を少し変えて、式としては解けていますが、物理的な意味は想定とは異なってしまっています。（間違った解です）

さて、二階の微分方程式を解くのは、運がいい場合（線形になっている場合）を除き、難しいですね。

何とか解くため、ふたつの初期条件のうち、「時刻 $t=0$ のときの物体の位置は $x_0=\gt 0$ 」だけを考え、「時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=0$ 」は諦め、速度は何になってもいいことにします。

関数 $x(t)$ の形を、

　 $\displaystyle x(t)=m×(t+l)^n$ 　（式２）

の形と想定します。（ $m$ 、 $l$ 、 $n$ はパラメータ）

式２を微分して $\displaystyle \frac{dx}{dt}$ 、 $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}$ を求めます。

　 $\displaystyle v(t)=\frac{dx}{dt}= \frac{d}{dt}(m×(t+l)^n)$

　　 $\displaystyle = m×\frac{d}{dt}(t+l)^n$

　　 $\displaystyle = m×n×(t+l)^{n-1}$

　 $\displaystyle a(t)=\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{d}{dt}(m×n×(t+l)^{n-1})$

　　 $\displaystyle =m×n×\frac{d}{dt}(t+l)^{n-1}$

　　 $\displaystyle =m×n×(n-1)×(t+l)^{n-2}$ 　（式３）

です。

一方、式１から、

　 $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=\frac{b}{x^2}$

　　 $\displaystyle =\frac{b}{(m×(t+l)^n)^2}$

　　 $\displaystyle =\frac{b}{m^2×(t+l)^{2n}}$

　　 $\displaystyle =b×m^{-2}×(t+l)^{-2n}$ 　（式４）
です。

式３と式４が等しいくなるには、まず、 $(t+l)$ の次数を比較して、
　 $\displaystyle n-2=-2n$
　 $\displaystyle n+2n=2$
　 $\displaystyle 3n=2$
　 $\displaystyle n=2/3$ 　（式５）
です。

次に $(t+l)$ の係数を比較して、
　 $\displaystyle m×n×(n-1)=b×m^{-2}$

両辺に $m^2$ を掛けて、
　 $\displaystyle m^3×n×(n-1)=b$

式５を代入して、
　 $\displaystyle m^3×(2/3)×((2/3)-1)=b$
　 $\displaystyle m^3×(2/3)×(-1/3)=b$
　 $\displaystyle m^3×(-2/9)=b$
　 $\displaystyle m^3=-(9/2)×b$

両辺の立方根を取って、
　 $\displaystyle m=\left(-(9/2)×b\right)^{1/3}$ 　（式６）
です。

式５、式６を式２に戻して、
　 $\displaystyle x(t)=m×(t+l)^n$
　　 $\displaystyle =\left(-(9/2)×b\right)^{1/3}×(t+l)^{2/3}$ 　（式７）
となります。

時刻 $t=0$ のときの物体の位置は、
　 $\displaystyle x_0=x(0)=\left(-(9/2)×b\right)^{1/3}×(0+l)^{2/3}$
　　 $\displaystyle =\left(-(9/2)×b\right)^{1/3}×l^{2/3}$
です。

これから、パラメータ $l$ の値を求めます。
　 $x_0×\left(-(9/2)×b\right)^{-1/3}=l^{2/3}$

両辺を３乗し、
　 $x_0^3×\left(-(9/2)×b\right)^{-1}=l^2$

　 $\displaystyle \frac{x_0^3}{-(9/2)×b}=l^2$

　 $\displaystyle -\frac{2×x_0^3}{9×b}=l^2$ 　（式８）

です。

あれれっ。
式８の左辺にはマイナスがついていますが、右辺は２乗ですからマイナスではありません。
ということは、加速度の比例定数 $b$ がマイナスということになってしまいます。
プラス方向に加速する想定だったのに…。（つづく）

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