加速度が変化する場合（２） - 柵（しがらみ）なき重力論

昨日の記事から、加速度が変化する場合について調べています。

以下を想定としています。

・時刻 $t=0$ のときの物体の位置は $x_0=x(0)\gt 0$
・時刻 $t=0$ のときの物体の速度は $v_0=v(0)=0$
・加速度は原点からの距離の２乗に反比例： $\displaystyle a(t)=\frac{b}{x^2(t)}$

この想定から、微分方程式

　 $\displaystyle \frac{d^2}{dt^2}x(t)=\frac{b}{x^2(t)}$

を立てました。

この方程式を解いて（または解けるか考えて）みたいと思いますが、その前に、そもそも上の想定に無理・矛盾はないでしょうか。

「加速度は原点からの距離の２乗に反比例」について。

例えばロケットが、ある地点からの距離を測定しながら、加速度が距離の２乗に反比例するようにエンジン出力を調整すればよいです。

実際に実現できるかは別として、想定としては無理はないと思います。

なお、ロケットが速度を持てば、基準とした位置からの距離は特殊相対性理論で縮みますが、まずは非相対論的に考えます。

「時刻 $t=0$ のときの物体の速度 $v(0)=0$ 」について。

時刻ゼロのとき加速度はゼロではないのに、速度がゼロとは？

これは、時刻 $t\lt 0$ のとき、物体がマイナスの速度 $v\lt 0$ を持っていて、その速度がプラスの加速度を受けながら徐々に減速し、 $t= 0$ のとき $v(0)=0$ となるとします。

その後、プラスの加速度を受けながらプラス方向に加速すると考えればよいです。

「時刻 $t=0$ のときの物体の位置 $x(0)\gt 0$ 」について。

$t= 0$ で物体の速度が $v(0)=0$ になるとき（速度がマイナスからプラスに替わる点）の物体の位置が $x(0)\gt 0$ であるとします。

ということで、想定に特に無理・矛盾はなさそうですね。（つづく）

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