柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

exp φ(t)の微分

加速度系 双曲線関数

昨日の記事で、等加速度 \alpha で動く物体を慣性系から見たときの見かけの速度 v_i(t) について、観測者に近づいてくる場合は、

　\displaystyle v_i(t)=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2\phi}-1)　（式１）

離れていく場合は、

　\displaystyle v_i=\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2\phi})　（式２）

という式を導きました。

\phi の定義は、

　\displaystyle \alpha×t=\sinh\phi = \frac{\mathrm{e}^{\phi}-\mathrm{e}^{-\phi}}{2}

　\displaystyle \sqrt{1+(\alpha×t)^2}=\cosh\phi = \frac{\mathrm{e}^{\phi}+\mathrm{e}^{-\phi}}{2}

　\displaystyle \mathrm{e}^{\phi}=\cosh\phi+\sinh\phi

　\displaystyle \mathrm{e}^{-\phi}=\cosh\phi-\sinh\phi

です。

この式１、２について、昨日の記事では「微分がしやすい」と書きましたが、本当にそう？

確かめます。

準備として、\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{\phi} を計算しておきます。

　\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{\phi}=\frac{d}{dt}(\cosh\phi+\sinh\phi)

　\displaystyle =\frac{d}{dt}\cosh\phi+\frac{d}{dt}\sinh\phi

ですが、\sinh\phi などの微分は以前の記事で求めておきました。

　 \displaystyle \frac{d}{dt}\sinh\phi=\alpha

　\displaystyle \frac{d}{dt}\cosh\phi =\alpha×\tanh\phi

です。

これらを使い、

　\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{\phi}=\frac{d}{dt}\cosh\phi+\frac{d}{dt}\sinh\phi

　\displaystyle =\alpha×\tanh\phi+\alpha

　\displaystyle =\alpha×(\tanh\phi+1)

　\displaystyle =\alpha×\left(\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}+1\right)

　\displaystyle =\alpha×\left(\frac{\sinh\phi+\cosh\phi}{\cosh\phi}\right)

となります。

\phi の定義に戻し、

　\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{\phi}=\alpha×\left(\frac{\sinh\phi+\cosh\phi}{\cosh\phi}\right)

　\displaystyle =\alpha×\left(\frac{\mathrm{e}^{\phi}}{\frac{\mathrm{e}^{\phi}+\mathrm{e}^{-\phi}}{2}}\right)

　\displaystyle =\frac{2×\alpha×\mathrm{e}^{\phi}}{\mathrm{e}^{\phi}+\mathrm{e}^{-\phi}}

　\displaystyle =\frac{2×\alpha}{1+\mathrm{e}^{-2\phi}}

です。

\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{-\phi} も同じようにして、

　\displaystyle \frac{d}{dt}\mathrm{e}^{-\phi}=\alpha×\left(\frac{\sinh\phi-\cosh\phi}{\cosh\phi}\right)

　\displaystyle =\frac{2×\alpha×(-\mathrm{e}^{-\phi})}{\mathrm{e}^{\phi}+\mathrm{e}^{-\phi}}

　\displaystyle =\frac{-2×\alpha}{\mathrm{e}^{2\phi}+1}

です。

f:id:Dr9000:20200822205130j:plain