柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

式はどこまで変形する？

加速度系双曲線関数

以前、等加速度 $\alpha$ で動く物体を慣性系から見たときの見かけの速度について、ラピディティの考え方で書いてみました。

そのとき、観測者に近づいてくる加速する物体の、観測者から見た速度 $v_i$ は、

　 $\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}$ 　（式１）

観測者から離れていく加速する物体の場合は、
　 $\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi + \sinh\phi}$ 　（式２）

という式を求めました。

一方、 $t\to\infty$ のとき $v_i\to ?$ がどうなるかを考えるため、上の式を、それぞれ、

　 $\displaystyle v_i=\sinh\phi×(\cosh\phi + \sinh\phi)$ 　（式３）

　 $\displaystyle v_i=\frac{\tanh\phi}{1+ \tanh\phi}$ 　（式４）

と変形しました。

同じ「見かけの速度」に対し、いろいろな表しかた（式）ができます。

この場合に限らず、式はどこまで変形しておくのがよいのでしょうか。

・微分・積分しやすい（複合関数や関数の積ではなく関数の和で表す）

・極限がすぐににわかる（ $\displaystyle \frac{0}{0}$ や $\displaystyle \frac{\infty}{\infty}$ にならない）

・変数の項数が少ない（見た目が簡単、それ以上簡略化できない）
・物理的意味が読み取れる

このすべてを満たせる表現（式）に変形できれば、いいのですが。

式１、２を変形してみます。

双曲線関数の定義、

　 $\displaystyle \cosh\theta=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\theta}+\mathrm{e}^{-\theta})$

　 $\displaystyle \sinh\theta=\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\theta}-\mathrm{e}^{-\theta})$

を使います。

まず、 $\displaystyle \sinh\phi-\cosh\phi$ は、

　 $\displaystyle \sinh\phi-\cosh\phi$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\phi}+\mathrm{e}^{-\phi})-\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\phi}-\mathrm{e}^{-\phi})$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}(2×\mathrm{e}^{-\phi})$

　 $\displaystyle =\mathrm{e}^{-\phi}$

です。

式１は、

　 $\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\phi}-\mathrm{e}^{-\phi})÷\mathrm{e}^{-\phi}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{2\phi}-1)$ 　（式５）

となります。

式２も同じようにして、

　 $\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi + \sinh\phi}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}(\mathrm{e}^{\phi}-\mathrm{e}^{-\phi})÷\mathrm{e}^{\phi}$

　 $\displaystyle =\frac{1}{2}(1-\mathrm{e}^{-2\phi})$ 　（式６）

となります。

式５、６は、

・微分・積分しやすい
・極限がすぐににわかる
・変数の項数が少ない
を満たしていますね。

・物理的意味が読み取れる
でしょうか？

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