柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

sinhφ(t)の微分

加速度系双曲線関数

昨日の記事で、ラピディティの考え方を使って、「加速する物体の見かけの加速度（１）」を書き直しました。

その際、時刻 $t$ での微分を使いましたが、このあとも使用することがあると思いますので、整理しておきます。

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\sinh\phi=\frac{d}{dt}(a×t)=a$

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\cosh\phi = \frac{d\phi}{dt}\frac{d}{d\phi}\cosh\phi$

　　 $\displaystyle =\frac{d}{dt}\sinh^{-1}(a×t)×\frac{d}{d\phi}\cosh\phi$

　　 $\displaystyle =\frac{a}{\sqrt{1+(a×t)^2}}×\sinh\phi$

　　 $\displaystyle =\frac{a×\sinh\phi}{\cosh\phi}=a×\tanh\phi$

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\tanh\phi =\frac{d}{dt}\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}$

　　 $\displaystyle =\left( \frac{d}{dt}\sinh\phi×\cosh\phi-\sinh\phi×\frac{d}{dt}\cosh\phi \right)÷\cosh^2\phi$

　　 $\displaystyle =\left( a×\cosh\phi-\sinh\phi×a×\tanh\phi \right)÷\cosh^2\phi$

　　 $\displaystyle =\frac{ a×(\cosh\phi-\sinh\phi×\tanh\phi) }{\cosh^2\phi}$

　　 $\displaystyle =\frac{ a×(\cosh\phi-\sinh\phi×(\sinh\phi/\cosh\phi)) }{\cosh^2\phi}$

　　 $\displaystyle =\frac{ a×(\cosh\phi-\sinh^2\phi/\cosh\phi) }{\cosh^2\phi}$

　　 $\displaystyle =\frac{ a×(\cosh^2\phi-\sinh^2\phi) }{\cosh^3\phi}$

　　 $\displaystyle =\frac{ a}{\cosh^3\phi}$

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\phi=\frac{d}{dt}\sinh^{-1}(\alpha×t)$

　　 $\displaystyle=\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}$

　　 $\displaystyle =\frac{\alpha}{\cosh\phi}$

まとめると、

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\sinh\phi=a$

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\cosh\phi =a×\tanh\phi$

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\tanh\phi =\frac{ a}{\cosh^3\phi}$

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\sinh^{-1}\phi=\frac{\alpha}{\cosh\phi}$

です。

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