加速する物体の見かけの加速度（２改） - 柵（しがらみ）なき重力論

一昨日の記事につづき、ラピディティの考え方を使って、「加速する物体の見かけの加速度（２）」を書き直してみます。

----------

等加速度 $\alpha$ で動く物体の見かけの速度 $v_i$ は、一昨日の記事で求めました。

観測者に近づいてくる場合は、

　 $\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}$ 　（式１）

離れていく場合は、

　 $\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi + \sinh\phi}$ 　（式２）

でした。（ $\sinh\phi=\alpha×t$ ）

これらから、見かけの加速度を求めます。

観測者に近づいてくる物体の見かけの加速度 $a_i$ は、式１を時刻 $t$ で微分します。（ $\displaystyle \sinh\phi$ などの微分は昨日の記事記事で整理しましたので参照ください）

　 $\displaystyle a_i=\frac{d}{dt}\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}$

　 $\displaystyle =\left(\frac{d}{dt}\sinh\phi×(\cosh\phi - \sinh\phi)-\sinh\phi×\frac{d}{dt}(\cosh\phi - \sinh\phi) \right)$

　　 $\displaystyle ÷(\cosh\phi - \sinh\phi)^2$

　 $\displaystyle =\frac{\alpha×(\cosh\phi - \sinh\phi)-\sinh\phi×(\alpha×\tanh\phi- \alpha)}{(\cosh\phi - \sinh\phi)^2}$

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{(\cosh\phi - \sinh\phi)-\sinh\phi×(\tanh\phi- 1)}{(\cosh\phi - \sinh\phi)^2}$

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{\cosh\phi - \sinh\phi-\sinh\phi×\tanh\phi+\sinh\phi}{(\cosh\phi - \sinh\phi)^2}$

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{\cosh\phi -\sinh\phi×\tanh\phi}{(\cosh\phi - \sinh\phi)^2}$

分子をまとめるため、分子・分母に $\cosh\phi$ を掛けて、

　 $\displaystyle a_i=\alpha×\frac{\cosh^2\phi -\sinh^2\phi}{\cosh\phi×(\cosh\phi - \sinh\phi)^2}$

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{1}{\cosh\phi×(\cosh\phi - \sinh\phi)^2}$

分母をまとめるため、分子・分母に $(\cosh\phi + \sinh\phi)^2$ を掛けて、

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{(\cosh\phi + \sinh\phi)^2}{\cosh\phi×(\cosh\phi - \sinh\phi)^2×(\cosh\phi + \sinh\phi)^2}$

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{(\cosh\phi + \sinh\phi)^2}{\cosh\phi×(\cosh^2\phi - \sinh^2\phi)^2}$

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{(\cosh\phi + \sinh\phi)^2}{\cosh\phi}$

となります。

観測者から離れていく物体の見かけの加速度は、式２を時刻 $t$ で微分して、

　 $\displaystyle a_i=\frac{d}{dt}\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}$

です。

物体が近づいてくる場合と同様に計算して、

　 $\displaystyle =\alpha×\frac{(\cosh\phi - \sinh\phi)^2}{\cosh\phi}$

となります。

計算はかなり簡単になりましたね。

なお、分数関数の微分の公式

　 $\displaystyle \frac{d}{dt}\left( \frac{f(t)}{g(t)} \right)=\frac{\frac{d}{dt}f(t)×g(t)-f(t)×\frac{d}{dt}g(t)}{g^2(t)}$

を使いました。

f:id:Dr9000:20200819075053j:plain