柵（しがらみ）なき重力論

自由に重力論を展開します。

加速する物体の見かけの加速度（１改）

加速度系

等加速度 \alpha で動く物体を慣性系から見たときの見かけの速度と加速度について記事を書きました。

ただ、計算式が複雑になりすぎて…。

そこで、ラピディティの考え方で書いてみたらどうなるか、試したいと思います。

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等加速度 \alpha で動く物体を慣性系から見たときの見かけの速度 v(t) は、

　\displaystyle v(t)=\frac{\alpha×t}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}　（式１）

ですが、これを、

　\displaystyle v(t)=\tanh\phi(t)

とします。

これは、式１で \alpha×t=\sinh\phi(t) と置いたものです。

　\displaystyle v(t)=\frac{\alpha×t}{\sqrt{1+(\alpha×t)^2}}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi}{\sqrt{1+\sinh^2\phi}}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi}{\sqrt{\cosh^2\phi}}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}

　\displaystyle =\tanh\phi

です。

 このあと、この表記で「加速する物体の見かけの加速度（１）」を書き直してみます。

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\phi\to\infty で \tanh\phi\to 1 ですので、時間の経過とともに速度は光速度に近づきます。

式１を t で微分すると、物体を慣性系から見たときの加速度 a(t) となります。

　\displaystyle a(t)=\frac{\alpha}{\cosh^3\phi}　（式２）

求め方は、

　\displaystyle \frac{dv}{dt}=\frac{d\phi}{dt}\frac{dv}{d\phi}

　\displaystyle =\frac{d}{dt}\sinh^{-1}\alpha t×\frac{d}{d\phi}\tanh\phi

　\displaystyle =\frac{\alpha}{\sqrt{1+(\alpha t)^2}}×\frac{1}{\cosh^2\phi}

　\displaystyle =\frac{\alpha}{\cosh\phi}×\frac{1}{\cosh^2\phi}

　\displaystyle =\frac{\alpha}{\cosh^3\phi}

です。

 \phi\to\infty で a\to 0 ですので、時間の経過とともに加速度はゼロに近づきます。

一方、観測者に近づいてくる物体の、観測者から見た速度 v_i は、
　\displaystyle v_i=\frac{v}{1-v}　（式３）
観測者から離れていく物体の速度は、
　\displaystyle v_i=\frac{v}{1+v}　（式４）
でした。

式１と式３を合わせて、観測者に近づいてくる加速する物体の、観測者から見た速度 v_i(t) を計算します。（掛け算の記号は省略します）
まず 1-v は、

　\displaystyle 1-v=1-\tanh\phi

　\displaystyle =1-\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}

　\displaystyle =\frac{\cosh\phi - \sinh\phi}{\cosh\phi}

です。

\displaystyle v_i(t)=\frac{v}{1-v} は、

　\displaystyle v_i(t)=\tanh\phi\frac{\cosh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi}\frac{\cosh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}

となります。

近づいてくる加速する物体の速度は、\phi\to\infty で v_i\to ? …。

上の式を変形して、

　\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi - \sinh\phi}

分子・分母に \displaystyle \cosh\phi + \sinh\phi を掛けて、

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi×(\cosh\phi + \sinh\phi)}{(\cosh\phi - \sinh\phi)(\cosh\phi + \sinh\phi)}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi×(\cosh\phi + \sinh\phi)}{\cosh^2\phi - \sinh^2\phi}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi×(\cosh\phi + \sinh\phi)}{1}

　\displaystyle =\sinh\phi×(\cosh\phi + \sinh\phi)

となりますので、\phi\to\infty で v_i\to \infty となります。

観測者から離れていく加速する物体の、観測者から見た速度 v_i(t) は、式１と式４を合わせて、同じように計算して、
　\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi + \sinh\phi}

となります。
t\to\infty で v_i\to ? …。

上の式を変形して、

　\displaystyle v_i=\frac{\sinh\phi}{\cosh\phi + \sinh\phi}

　\displaystyle =\frac{\sinh\phi/\cosh\phi}{\cosh\phi/\cosh\phi + \sinh\phi/\cosh\phi}

　\displaystyle =\frac{\tanh\phi}{1+ \tanh\phi}

となりますので、\phi\to\infty で v_i\to (1/2) です。

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計算式が簡素になりましたね（？）。

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